Номер 11.15, страница 288 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.15, страница 288.

Условие.

11.15 a) $\sqrt{x} < \sqrt[4]{x+3}$;

б) $\sqrt{x} > \sqrt[4]{x+4}$;

В) $\sqrt{x+1} > \sqrt[3]{2x+1}$;

Г) $\sqrt{x} < \sqrt[3]{3x-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Исходное неравенство: $\sqrt{x} < \sqrt[4]{x+3}$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$x \geq 0$
$x+3 \geq 0 \implies x \geq -3$
Пересечением этих условий является ОДЗ: $x \geq 0$.
2. На ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести обе части в 4-ю степень (наименьшее общее кратное степеней корней 2 и 4), знак неравенства при этом не изменится:
$(\sqrt{x})^4 < (\sqrt[4]{x+3})^4$
$x^2 < x+3$
$x^2 - x - 3 < 0$
3. Решим полученное квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = (-1)^2 - 4(1)(-3) = 1 + 12 = 13$
$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{13}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$
Так как ветви параболы $y = x^2 - x - 3$ направлены вверх, неравенство $x^2 - x - 3 < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями:
$\frac{1 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$
4. Совместим полученное решение с ОДЗ ($x \geq 0$).
Заметим, что $\frac{1 - \sqrt{13}}{2} < 0$ (поскольку $\sqrt{13} > \sqrt{1} = 1$).
Пересечением множеств $x \in (\frac{1 - \sqrt{13}}{2}, \frac{1 + \sqrt{13}}{2})$ и $x \in [0, +\infty)$ является полуинтервал $[0, \frac{1 + \sqrt{13}}{2})$.
Ответ: $x \in [0, \frac{1 + \sqrt{13}}{2})$.

б) Исходное неравенство: $\sqrt{x} > \sqrt[4]{x+4}$.
1. ОДЗ:
$x \geq 0$
$x+4 \geq 0 \implies x \geq -4$
Итоговая ОДЗ: $x \geq 0$.
2. На ОДЗ обе части неравенства неотрицательны. Возведем обе части в 4-ю степень:
$(\sqrt{x})^4 > (\sqrt[4]{x+4})^4$
$x^2 > x+4$
$x^2 - x - 4 > 0$
3. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - x - 4 = 0$:
$D = (-1)^2 - 4(1)(-4) = 1 + 16 = 17$
$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$
Ветви параболы $y = x^2 - x - 4$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется для значений $x$ вне интервала между корнями:
$x < \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ или $x > \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.
4. Совместим с ОДЗ ($x \geq 0$).
Корень $\frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ отрицателен. Значит, промежуток $x < \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ не имеет пересечения с ОДЗ.
Корень $\frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ положителен. Пересечение промежутка $x > \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ с ОДЗ $x \geq 0$ дает $x > \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$.
Ответ: $x \in (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}, +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $\sqrt{x+1} > \sqrt[3]{2x+1}$.
1. ОДЗ: $x+1 \geq 0 \implies x \geq -1$.
2. Левая часть $\sqrt{x+1}$ всегда неотрицательна. Знак правой части зависит от $x$. Рассмотрим два случая.
Случай 1: Правая часть отрицательна.
$\sqrt[3]{2x+1} < 0 \implies 2x+1 < 0 \implies x < -1/2$.
С учетом ОДЗ, этот случай соответствует промежутку $x \in [-1, -1/2)$. На этом промежутке неотрицательное число в левой части всегда больше отрицательного числа в правой. Следовательно, весь промежуток $[-1, -1/2)$ является решением.
Случай 2: Правая часть неотрицательна.
$\sqrt[3]{2x+1} \geq 0 \implies 2x+1 \geq 0 \implies x \geq -1/2$.
На этом промежутке обе части неравенства неотрицательны. Возведем обе части в 6-ю степень (НОК(2,3)=6):
$(\sqrt{x+1})^6 > (\sqrt[3]{2x+1})^6$
$(x+1)^3 > (2x+1)^2$
$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 > 4x^2 + 4x + 1$
$x^3 - x^2 - x > 0$
$x(x^2 - x - 1) > 0$
Найдем корни многочлена $x(x^2-x-1)$. Это $x=0$ и корни уравнения $x^2-x-1=0$, то есть $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Корни в порядке возрастания: $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618$, $0$, $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$.
Решаем неравенство $x(x^2 - x - 1) > 0$ методом интервалов, получаем: $x \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$.
Теперь найдем пересечение этого решения с условием случая 2 ($x \geq -1/2$).
Поскольку $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < -1/2$, пересечение $(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0)$ с $[-1/2, +\infty)$ дает $[-1/2, 0)$.
Интервал $(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$ полностью входит в область $x \geq -1/2$.
Решение для случая 2: $x \in [-1/2, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$.
3. Объединим решения из обоих случаев:
$[-1, -1/2) \cup [-1/2, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty) = [-1, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$.
Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $\sqrt{x} < \sqrt[3]{3x-2}$.
1. ОДЗ: $x \geq 0$.
2. Рассмотрим знаки частей неравенства.
Случай 1: Правая часть отрицательна.
$\sqrt[3]{3x-2} < 0 \implies 3x-2 < 0 \implies x < 2/3$.
С учетом ОДЗ, рассматриваем $x \in [0, 2/3)$. На этом промежутке левая часть $\sqrt{x}$ неотрицательна. Неравенство "неотрицательное число < отрицательное число" ложно. Решений в этом случае нет.
Случай 2: Правая часть неотрицательна.
$\sqrt[3]{3x-2} \geq 0 \implies 3x-2 \geq 0 \implies x \geq 2/3$.
На этом промежутке обе части неравенства неотрицательны, можно возвести в 6-ю степень:
$(\sqrt{x})^6 < (\sqrt[3]{3x-2})^6$
$x^3 < (3x-2)^2$
$x^3 < 9x^2 - 12x + 4$
$x^3 - 9x^2 + 12x - 4 < 0$
3. Решим кубическое неравенство. Найдем корни многочлена $P(x) = x^3 - 9x^2 + 12x - 4$.
Подбором находим, что $x=1$ является корнем: $P(1)=1-9+12-4=0$.
Разделив $P(x)$ на $(x-1)$, получим $x^2 - 8x + 4$.
Найдем корни $x^2 - 8x + 4 = 0$: $x = \frac{8 \pm \sqrt{64-16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$.
Корни многочлена $P(x)$: $4-2\sqrt{3}$, $1$, $4+2\sqrt{3}$.
Решаем неравенство $P(x) < 0$ методом интервалов:
$x \in (-\infty, 4-2\sqrt{3}) \cup (1, 4+2\sqrt{3})$.
4. Найдем пересечение этого решения с условием случая 2 ($x \geq 2/3$).
Так как $4-2\sqrt{3} \approx 0.536$ и $2/3 \approx 0.667$, то $4-2\sqrt{3} < 2/3$. Следовательно, первый интервал $(-\infty, 4-2\sqrt{3})$ не дает решений.
Интервал $(1, 4+2\sqrt{3})$ полностью удовлетворяет условию $x \geq 2/3$.
Общее решение - это решение из случая 2.
Ответ: $x \in (1, 4+2\sqrt{3})$.