Номер 11.20, страница 290 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.20, страница 290.

Условие.

11.20 a) $\frac{x^2}{1 - \cos x} < \frac{x + 2}{1 - \cos x}$;

Б) $\frac{x^2}{\cos x - 1} > \frac{-x + 2}{\cos x - 1}$;

В) $\frac{x^2}{1 - \sin x} < \frac{2x + 3}{1 - \sin x}$;

Г) $\frac{x^2}{\sin x - 1} > \frac{x + 2}{\sin x - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное неравенство: $\frac{x^2}{1 - \cos x} < \frac{x + 2}{1 - \cos x}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$1 - \cos x \neq 0$
$\cos x \neq 1$
$x \neq 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Определим знак знаменателя $1 - \cos x$. Поскольку область значений функции косинус $[-1, 1]$, то $-1 \le \cos x \le 1$. Это означает, что $0 \le 1 - \cos x \le 2$. С учетом ОДЗ, где $1 - \cos x \neq 0$, получаем, что знаменатель всегда строго положителен: $1 - \cos x > 0$.

3. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2}{1 - \cos x} - \frac{x + 2}{1 - \cos x} < 0$
$\frac{x^2 - (x + 2)}{1 - \cos x} < 0$
$\frac{x^2 - x - 2}{1 - \cos x} < 0$.

4. Так как знаменатель $1 - \cos x$ всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:
$x^2 - x - 2 < 0$.

5. Решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -2. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями, то есть при $x \in (-1, 2)$.

6. Совместим найденное решение с ОДЗ. Необходимо исключить из интервала $(-1, 2)$ точки вида $x = 2\pi k$. При $k=0$ получаем $x = 0$, эта точка принадлежит интервалу $(-1, 2)$, поэтому ее нужно исключить. При других целых значениях $k$ точки $2\pi k$ не попадают в данный интервал.Таким образом, решение представляет собой объединение двух интервалов: $(-1, 0) \cup (0, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (0, 2)$.

б)

Исходное неравенство: $\frac{x^2}{\cos x - 1} > \frac{-x + 2}{\cos x - 1}$.

1. ОДЗ: $\cos x - 1 \neq 0 \Rightarrow \cos x \neq 1 \Rightarrow x \neq 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Определим знак знаменателя $\cos x - 1$. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-2 \le \cos x - 1 \le 0$. С учетом ОДЗ, знаменатель всегда строго отрицателен: $\cos x - 1 < 0$.

3. Перенесем все в левую часть:
$\frac{x^2 - (-x + 2)}{\cos x - 1} > 0$
$\frac{x^2 + x - 2}{\cos x - 1} > 0$.

4. Так как знаменатель отрицателен, для того чтобы вся дробь была положительной, числитель также должен быть отрицательным:
$x^2 + x - 2 < 0$.

5. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Парабола $y = x^2 + x - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому отрицательные значения находятся между корнями: $x \in (-2, 1)$.

6. Совместим решение с ОДЗ. Из интервала $(-2, 1)$ нужно исключить точки $x = 2\pi k$. При $k=0$ имеем $x=0$, эта точка лежит в интервале и должна быть исключена. Другие целые $k$ дают точки вне интервала $(-2, 1)$.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (0, 1)$.

в)

Исходное неравенство: $\frac{x^2}{1 - \sin x} < \frac{2x + 3}{1 - \sin x}$.

1. ОДЗ: $1 - \sin x \neq 0 \Rightarrow \sin x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Определим знак знаменателя $1 - \sin x$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $0 \le 1 - \sin x \le 2$. С учетом ОДЗ, знаменатель всегда строго положителен: $1 - \sin x > 0$.

3. Поскольку знаменатель положителен, неравенство равносильно неравенству для числителей:
$x^2 < 2x + 3$
$x^2 - 2x - 3 < 0$.

4. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Парабола направлена ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-1, 3)$.

5. Совместим решение с ОДЗ. Нужно исключить из интервала $(-1, 3)$ точки $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. При $k=0$ имеем $x = \frac{\pi}{2}$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, получаем $x \approx 1.57$. Эта точка лежит в интервале $(-1, 3)$ и должна быть исключена. При других целых $k$ точки лежат вне этого интервала.

Ответ: $x \in (-1, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, 3)$.

г)

Исходное неравенство: $\frac{x^2}{\sin x - 1} > \frac{x + 2}{\sin x - 1}$.

1. ОДЗ: $\sin x - 1 \neq 0 \Rightarrow \sin x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Определим знак знаменателя $\sin x - 1$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-2 \le \sin x - 1 \le 0$. С учетом ОДЗ, знаменатель всегда строго отрицателен: $\sin x - 1 < 0$.

3. Перенесем все в левую часть:
$\frac{x^2 - (x + 2)}{\sin x - 1} > 0$
$\frac{x^2 - x - 2}{\sin x - 1} > 0$.

4. Так как знаменатель отрицателен, для выполнения неравенства числитель также должен быть отрицательным:
$x^2 - x - 2 < 0$.

5. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Решение неравенства: $x \in (-1, 2)$.

6. Совместим решение с ОДЗ. Из интервала $(-1, 2)$ нужно исключить точки $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. При $k=0$ имеем $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Эта точка лежит в интервале $(-1, 2)$, и ее нужно исключить. Другие целые $k$ дают точки за пределами этого интервала.

Ответ: $x \in (-1, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, 2)$.