Номер 11.19, страница 289 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.19, страница 289.

Условие.

11.19 a) $ \frac{8 - 3|x|}{4 + |x|} > 1; $

б) $ \frac{9 - 2|x|}{5 + |x|} < 1; $

в) $ \frac{15 + 4|x|}{5 + 6|x|} > 1; $

г) $ \frac{5 + 3|x|}{3 + 5|x|} < 1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Решим неравенство $\frac{8 - 3|x|}{4 + |x|} > 1$. Введем замену $y = |x|$. Поскольку по определению модуля $|x| \ge 0$, то и $y \ge 0$. Неравенство примет вид: $$ \frac{8 - 3y}{4 + y} > 1 $$ Поскольку $y \ge 0$, знаменатель $4 + y$ всегда положителен ($4 + y \ge 4$). Поэтому можно умножить обе части неравенства на $4 + y$, не меняя знака неравенства: $$ 8 - 3y > 4 + y $$ $$ 8 - 4 > y + 3y $$ $$ 4 > 4y $$ $$ 1 > y \quad \text{или} \quad y < 1 $$ Учитывая условие $y \ge 0$, получаем двойное неравенство: $0 \le y < 1$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$: $$ 0 \le |x| < 1 $$ Неравенство $|x| \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$. Остается решить неравенство $|x| < 1$. Это неравенство равносильно системе $-1 < x < 1$.
Ответ: $x \in (-1; 1)$.

б) Решим неравенство $\frac{9 - 2|x|}{5 + |x|} < 1$. Сделаем замену $y = |x|$, при этом $y \ge 0$. Неравенство примет вид: $$ \frac{9 - 2y}{5 + y} < 1 $$ Знаменатель $5 + y$ всегда положителен при $y \ge 0$. Умножим обе части на $5+y$: $$ 9 - 2y < 5 + y $$ $$ 9 - 5 < y + 2y $$ $$ 4 < 3y $$ $$ y > \frac{4}{3} $$ Данное решение удовлетворяет условию $y \ge 0$. Выполним обратную замену: $$ |x| > \frac{4}{3} $$ Это неравенство распадается на два: $x > \frac{4}{3}$ или $x < -\frac{4}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{15 + 4|x|}{5 + 6|x|} > 1$. Пусть $y = |x|$, где $y \ge 0$. Неравенство примет вид: $$ \frac{15 + 4y}{5 + 6y} > 1 $$ Знаменатель $5 + 6y$ всегда положителен при $y \ge 0$. Умножим обе части на $5+6y$: $$ 15 + 4y > 5 + 6y $$ $$ 15 - 5 > 6y - 4y $$ $$ 10 > 2y $$ $$ 5 > y \quad \text{или} \quad y < 5 $$ С учетом условия $y \ge 0$, получаем $0 \le y < 5$. Вернемся к переменной $x$: $$ 0 \le |x| < 5 $$ Это равносильно неравенству $|x| < 5$, решением которого является интервал $-5 < x < 5$.
Ответ: $x \in (-5; 5)$.

г) Решим неравенство $\frac{5 + 3|x|}{3 + 5|x|} < 1$. Пусть $y = |x|$, где $y \ge 0$. Неравенство примет вид: $$ \frac{5 + 3y}{3 + 5y} < 1 $$ Знаменатель $3 + 5y$ всегда положителен при $y \ge 0$. Умножим обе части на $3+5y$: $$ 5 + 3y < 3 + 5y $$ $$ 5 - 3 < 5y - 3y $$ $$ 2 < 2y $$ $$ 1 < y \quad \text{или} \quad y > 1 $$ Это решение удовлетворяет условию $y \ge 0$. Произведем обратную замену: $$ |x| > 1 $$ Это неравенство равносильно совокупности $x > 1$ или $x < -1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.