Номер 11.24, страница 293 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.24, страница 293.

Условие.

Решите неравенство (11.24—11.33):

11.24 а) $\log_{25}(x^2 - 7) > \log_{25}(x - 1);$

б) $\log_{7}(x^2 - 4) > \log_{7}(3x + 6);$

в) $\log_{\frac{1}{7}}(x^2 - 3x) > \log_{\frac{1}{7}}(2x - 4);$

г) $\log_{\frac{1}{25}}(x^2 - 4x) > \log_{\frac{1}{25}}(2x - 5).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\log_{25}(x^2 - 7) > \log_{25}(x - 1)$

Так как основание логарифма $25 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, данное неравенство равносильно системе, в которой мы сравниваем подлогарифмические выражения с тем же знаком, и учитываем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы оба подлогарифмических выражения были положительны.

$ \begin{cases} x^2 - 7 > x - 1 \\ x - 1 > 0 \\ x^2 - 7 > 0 \end{cases} $

Заметим, что если $x^2 - 7 > x - 1$ и $x - 1 > 0$, то $x^2 - 7 > 0$ выполняется автоматически. Таким образом, систему можно упростить:

$ \begin{cases} x^2 - 7 > x - 1 \\ x - 1 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$x^2 - x - 6 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 3, x_2 = -2$.

Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x - 1 > 0 \implies x > 1$.

Решение: $x \in (1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений: $((-\infty; -2) \cup (3; +\infty)) \cap (1; +\infty)$.

Пересечением является интервал $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

б) $\log_7(x^2 - 4) > \log_7(3x + 6)$

Основание логарифма $7 > 1$, поэтому функция возрастающая. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 4 > 3x + 6 \\ 3x + 6 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$x^2 - 3x - 10 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$ равны $x_1 = 5, x_2 = -2$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (5; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$3x + 6 > 0 \implies 3x > -6 \implies x > -2$.

Решение: $x \in (-2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; -2) \cup (5; +\infty)) \cap (-2; +\infty)$.

Пересечением является интервал $(5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

в) $\log_{\frac{1}{7}}(x^2 - 3x) > \log_{\frac{1}{7}}(2x - 4)$

Основание логарифма $a = \frac{1}{7}$, и $0 < a < 1$. Логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный. Неравенство равносильно системе с учетом ОДЗ:

$ \begin{cases} x^2 - 3x < 2x - 4 \\ x^2 - 3x > 0 \\ 2x - 4 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$x^2 - 5x + 4 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ равны $x_1 = 1, x_2 = 4$.

Решение неравенства: $x \in (1; 4)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - 3x > 0 \implies x(x - 3) > 0$.

Решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.

Решим третье неравенство:

$2x - 4 > 0 \implies 2x > 4 \implies x > 2$.

Решение: $x \in (2; +\infty)$.

Найдем пересечение трех множеств: $(1; 4) \cap ((-\infty; 0) \cup (3; +\infty)) \cap (2; +\infty)$.

Пересечение $(1; 4) \cap (2; +\infty)$ дает $(2; 4)$.

Пересечение $(2; 4) \cap ((-\infty; 0) \cup (3; +\infty))$ дает $(3; 4)$.

Ответ: $x \in (3; 4)$.

г) $\log_{\frac{1}{25}}(x^2 - 4x) > \log_{\frac{1}{25}}(2x - 5)$

Основание логарифма $a = \frac{1}{25}$, и $0 < a < 1$. Логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется. Система неравенств выглядит так:

$ \begin{cases} x^2 - 4x < 2x - 5 \\ x^2 - 4x > 0 \\ 2x - 5 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$x^2 - 6x + 5 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ равны $x_1 = 1, x_2 = 5$.

Решение неравенства: $x \in (1; 5)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - 4x > 0 \implies x(x - 4) > 0$.

Решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

Решим третье неравенство:

$2x - 5 > 0 \implies 2x > 5 \implies x > 2.5$.

Решение: $x \in (2.5; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(1; 5) \cap ((-\infty; 0) \cup (4; +\infty)) \cap (2.5; +\infty)$.

Пересечение $(1; 5) \cap (2.5; +\infty)$ дает $(2.5; 5)$.

Пересечение $(2.5; 5) \cap ((-\infty; 0) \cup (4; +\infty))$ дает $(4; 5)$.

Ответ: $x \in (4; 5)$.