Номер 11.26, страница 293 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.26, страница 293.

Условие.

11.26 а) $log_3 243 \cdot log_{0,8}(3x - 5) > 0;$

б) $\frac{log_9 (5x - 4)}{log_{0,4} 0,064} < 0;$

в) $\frac{log_{0,2} (2 - 5x)}{log_5 625} > 0;$

г) $log_{0,6} 0,216 \cdot log_5 (5 - 2x) < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $log_3(243) \cdot log_{0.8}(3x - 5) > 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$3x - 5 > 0$

$3x > 5$

$x > 5/3$

2. Упростим неравенство. Вычислим значение первого множителя $log_3(243)$:

$log_3(243) = log_3(3^5) = 5$.

Поскольку $5 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на 5, не меняя знака:

$5 \cdot log_{0.8}(3x - 5) > 0 \quad | : 5$

$log_{0.8}(3x - 5) > 0$

3. Решим полученное логарифмическое неравенство. Представим $0$ как логарифм с таким же основанием: $0 = log_{0.8}(1)$.

$log_{0.8}(3x - 5) > log_{0.8}(1)$

Основание логарифма $a = 0.8$, и $0 < 0.8 < 1$. Это означает, что логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$3x - 5 < 1$

$3x < 6$

$x < 2$

4. Объединим полученное решение с ОДЗ. Требуется, чтобы выполнялись оба условия одновременно:

$\begin{cases} x > 5/3 \\ x < 2 \end{cases}$

Таким образом, решением является интервал $(5/3, 2)$.

Ответ: $x \in (5/3, 2)$.

б) $\frac{log_9(5x - 4)}{log_{0.4}(0.064)} < 0$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма в числителе должен быть строго больше нуля:

$5x - 4 > 0$

$5x > 4$

$x > 4/5$

2. Вычислим значение знаменателя $log_{0.4}(0.064)$:

$log_{0.4}(0.064) = log_{0.4}(0.4^3) = 3$.

3. Подставим вычисленное значение в неравенство:

$\frac{log_9(5x - 4)}{3} < 0$

Умножим обе части на 3 (положительное число), знак неравенства не изменится:

$log_9(5x - 4) < 0$

4. Решим полученное логарифмическое неравенство. Представим $0$ как $log_9(1)$:

$log_9(5x - 4) < log_9(1)$

Основание логарифма $a = 9$, и $9 > 1$. Это означает, что логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$5x - 4 < 1$

$5x < 5$

$x < 1$

5. Объединим решение с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 4/5 \\ x < 1 \end{cases}$

Решением является интервал $(4/5, 1)$.

Ответ: $x \in (4/5, 1)$.

в) $\frac{log_{0.2}(2 - 5x)}{log_5(625)} > 0$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма в числителе должен быть строго больше нуля:

$2 - 5x > 0$

$2 > 5x$

$x < 2/5$

2. Вычислим значение знаменателя $log_5(625)$:

$log_5(625) = log_5(5^4) = 4$.

3. Подставим вычисленное значение в неравенство:

$\frac{log_{0.2}(2 - 5x)}{4} > 0$

Умножим обе части на 4, знак неравенства не изменится:

$log_{0.2}(2 - 5x) > 0$

4. Решим неравенство, представив $0$ как $log_{0.2}(1)$:

$log_{0.2}(2 - 5x) > log_{0.2}(1)$

Основание логарифма $a = 0.2$, и $0 < 0.2 < 1$. Функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$2 - 5x < 1$

$-5x < -1$

$5x > 1$

$x > 1/5$

5. Объединим решение с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 2/5 \\ x > 1/5 \end{cases}$

Решением является интервал $(1/5, 2/5)$.

Ответ: $x \in (1/5, 2/5)$.

г) $log_{0.6}(0.216) \cdot log_5(5 - 2x) < 0$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$5 - 2x > 0$

$5 > 2x$

$x < 5/2$

2. Упростим неравенство. Вычислим значение первого множителя $log_{0.6}(0.216)$:

$log_{0.6}(0.216) = log_{0.6}(0.6^3) = 3$.

3. Подставим значение в неравенство:

$3 \cdot log_5(5 - 2x) < 0$

Разделим обе части на 3, знак неравенства не изменится:

$log_5(5 - 2x) < 0$

4. Решим неравенство, представив $0$ как $log_5(1)$:

$log_5(5 - 2x) < log_5(1)$

Основание логарифма $a = 5$, и $5 > 1$. Функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$5 - 2x < 1$

$-2x < -4$

$2x > 4$

$x > 2$

5. Объединим решение с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 5/2 \\ x > 2 \end{cases}$

Решением является интервал $(2, 5/2)$.

Ответ: $x \in (2, 5/2)$.