Номер 11.32, страница 293 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.32, страница 293.

Условие.

11.32* a) $2^{\log_2 (3-2x)} < 4;$

б) $3^{\log_3 (7-4x)} > 27.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $2^{\log_2(3-2x)} < 4$

Для решения данного неравенства сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$3 - 2x > 0$

$-2x > -3$

$x < 1.5$

Теперь воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. Левая часть неравенства преобразуется к виду $3-2x$.

Получаем неравенство:

$3 - 2x < 4$

Решим это линейное неравенство:

$-2x < 4 - 3$

$-2x < 1$

При делении на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -0.5$

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. Составим систему неравенств:

$\{ \begin{array}{l} x < 1.5 \\ x > -0.5 \end{array} $

Объединяя эти два условия, получаем интервал $-0.5 < x < 1.5$.

Ответ: $x \in (-0.5; 1.5)$

б) $3^{\log_3(7-4x)} > 27$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля:

$7 - 4x > 0$

$-4x > -7$

$x < \frac{7}{4}$

$x < 1.75$

Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Левая часть неравенства становится равной $7-4x$.

Неравенство принимает вид:

$7 - 4x > 27$

Решим полученное неравенство:

$-4x > 27 - 7$

$-4x > 20$

Разделим обе части на -4, не забыв поменять знак неравенства на противоположный:

$x < -5$

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ, составив систему:

$\{ \begin{array}{l} x < 1.75 \\ x < -5 \end{array} $

Пересечением этих двух условий является $x < -5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5)$