Номер 11.30, страница 293 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.30, страница 293.
№11.30 (с. 293)
Условие. №11.30 (с. 293)
скриншот условия

11.30 а) $(2\sqrt{x} + 1)^2 > 5x^2 + 4\sqrt{x} - 63;$
б) $(2\sqrt{x} - 1)^2 < 2x^2 - 4\sqrt{x} - 125;$
В) $(3\sqrt{x} + 2)^2 > 6x^2 + 12\sqrt{x} - 2;$
Г) $(3\sqrt{x} - 2)^2 < 4x^2 - 12\sqrt{x} - 5.$
Решение 1. №11.30 (с. 293)




Решение 2. №11.30 (с. 293)


Решение 4. №11.30 (с. 293)
а) Исходное неравенство: $(2\sqrt{x}+1)^2 > 5x^2 + 4\sqrt{x} - 63$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием подкоренного выражения: $x \ge 0$.
Раскроем скобки в левой части неравенства, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$(2\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{x} \cdot 1 + 1^2 > 5x^2 + 4\sqrt{x} - 63$
$4x + 4\sqrt{x} + 1 > 5x^2 + 4\sqrt{x} - 63$
Сократим одинаковые слагаемые $4\sqrt{x}$ в обеих частях неравенства:
$4x + 1 > 5x^2 - 63$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:
$0 > 5x^2 - 4x - 63 - 1$
$5x^2 - 4x - 64 < 0$
Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 4x - 64 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-64) = 16 + 1280 = 1296$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$.
Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 36}{2 \cdot 5} = \frac{-32}{10} = -3.2$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 36}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$.
Так как ветви параболы $y=5x^2 - 4x - 64$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $5x^2 - 4x - 64 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-3.2, 4)$.
Теперь учтем ОДЗ ($x \ge 0$). Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $(-3.2, 4) \cap [0, \infty) = [0, 4)$.
Ответ: $x \in [0, 4)$.
б) Исходное неравенство: $(2\sqrt{x}-1)^2 < 2x^2 - 4\sqrt{x} - 125$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$(2\sqrt{x})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{x} \cdot 1 + 1^2 < 2x^2 - 4\sqrt{x} - 125$
$4x - 4\sqrt{x} + 1 < 2x^2 - 4\sqrt{x} - 125$
Сократим слагаемое $-4\sqrt{x}$ в обеих частях:
$4x + 1 < 2x^2 - 125$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 < 2x^2 - 4x - 125 - 1$
$2x^2 - 4x - 126 > 0$
Разделим обе части неравенства на 2:
$x^2 - 2x - 63 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 63 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 9$.
Ветви параболы $y=x^2 - 2x - 63$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 63 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -7) \cup (9, \infty)$.
Учитывая ОДЗ ($x \ge 0$), получаем решение: $((-\infty, -7) \cup (9, \infty)) \cap [0, \infty) = (9, \infty)$.
Ответ: $x \in (9, \infty)$.
в) Исходное неравенство: $(3\sqrt{x}+2)^2 > 6x^2 + 12\sqrt{x} - 2$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Раскроем скобки в левой части:
$(3\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{x} \cdot 2 + 2^2 > 6x^2 + 12\sqrt{x} - 2$
$9x + 12\sqrt{x} + 4 > 6x^2 + 12\sqrt{x} - 2$
Сократим $12\sqrt{x}$:
$9x + 4 > 6x^2 - 2$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 > 6x^2 - 9x - 2 - 4$
$6x^2 - 9x - 6 < 0$
Разделим обе части на 3:
$2x^2 - 3x - 2 < 0$
Найдем корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
$\sqrt{D} = 5$.
Корни: $x_1 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$ и $x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 - 3x - 2 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-0.5, 2)$.
Пересекая с ОДЗ ($x \ge 0$), получаем: $(-0.5, 2) \cap [0, \infty) = [0, 2)$.
Ответ: $x \in [0, 2)$.
г) Исходное неравенство: $(3\sqrt{x}-2)^2 < 4x^2 - 12\sqrt{x} - 5$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Раскроем скобки в левой части:
$(3\sqrt{x})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{x} \cdot 2 + 2^2 < 4x^2 - 12\sqrt{x} - 5$
$9x - 12\sqrt{x} + 4 < 4x^2 - 12\sqrt{x} - 5$
Сократим $-12\sqrt{x}$:
$9x + 4 < 4x^2 - 5$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 < 4x^2 - 9x - 5 - 4$
$4x^2 - 9x - 9 > 0$
Найдем корни уравнения $4x^2 - 9x - 9 = 0$.
Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225$.
$\sqrt{D} = 15$.
Корни: $x_1 = \frac{9 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -0.75$ и $x_2 = \frac{9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $4x^2 - 9x - 9 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -0.75) \cup (3, \infty)$.
Пересекая с ОДЗ ($x \ge 0$), получаем: $((-\infty, -0.75) \cup (3, \infty)) \cap [0, \infty) = (3, \infty)$.
Ответ: $x \in (3, \infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.30 расположенного на странице 293 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.30 (с. 293), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.