Номер 11.30, страница 293 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.30, страница 293.

Условие.

11.30 а) $(2\sqrt{x} + 1)^2 > 5x^2 + 4\sqrt{x} - 63;$

б) $(2\sqrt{x} - 1)^2 < 2x^2 - 4\sqrt{x} - 125;$

В) $(3\sqrt{x} + 2)^2 > 6x^2 + 12\sqrt{x} - 2;$

Г) $(3\sqrt{x} - 2)^2 < 4x^2 - 12\sqrt{x} - 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Исходное неравенство: $(2\sqrt{x}+1)^2 > 5x^2 + 4\sqrt{x} - 63$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием подкоренного выражения: $x \ge 0$.

Раскроем скобки в левой части неравенства, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(2\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{x} \cdot 1 + 1^2 > 5x^2 + 4\sqrt{x} - 63$

$4x + 4\sqrt{x} + 1 > 5x^2 + 4\sqrt{x} - 63$

Сократим одинаковые слагаемые $4\sqrt{x}$ в обеих частях неравенства:

$4x + 1 > 5x^2 - 63$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$0 > 5x^2 - 4x - 63 - 1$

$5x^2 - 4x - 64 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 4x - 64 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-64) = 16 + 1280 = 1296$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 36}{2 \cdot 5} = \frac{-32}{10} = -3.2$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 36}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$.

Так как ветви параболы $y=5x^2 - 4x - 64$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $5x^2 - 4x - 64 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-3.2, 4)$.

Теперь учтем ОДЗ ($x \ge 0$). Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $(-3.2, 4) \cap [0, \infty) = [0, 4)$.

Ответ: $x \in [0, 4)$.

---

б) Исходное неравенство: $(2\sqrt{x}-1)^2 < 2x^2 - 4\sqrt{x} - 125$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(2\sqrt{x})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{x} \cdot 1 + 1^2 < 2x^2 - 4\sqrt{x} - 125$

$4x - 4\sqrt{x} + 1 < 2x^2 - 4\sqrt{x} - 125$

Сократим слагаемое $-4\sqrt{x}$ в обеих частях:

$4x + 1 < 2x^2 - 125$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < 2x^2 - 4x - 125 - 1$

$2x^2 - 4x - 126 > 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x^2 - 2x - 63 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 63 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 9$.

Ветви параболы $y=x^2 - 2x - 63$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 63 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -7) \cup (9, \infty)$.

Учитывая ОДЗ ($x \ge 0$), получаем решение: $((-\infty, -7) \cup (9, \infty)) \cap [0, \infty) = (9, \infty)$.

Ответ: $x \in (9, \infty)$.

---

в) Исходное неравенство: $(3\sqrt{x}+2)^2 > 6x^2 + 12\sqrt{x} - 2$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Раскроем скобки в левой части:

$(3\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{x} \cdot 2 + 2^2 > 6x^2 + 12\sqrt{x} - 2$

$9x + 12\sqrt{x} + 4 > 6x^2 + 12\sqrt{x} - 2$

Сократим $12\sqrt{x}$:

$9x + 4 > 6x^2 - 2$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 > 6x^2 - 9x - 2 - 4$

$6x^2 - 9x - 6 < 0$

Разделим обе части на 3:

$2x^2 - 3x - 2 < 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$\sqrt{D} = 5$.

Корни: $x_1 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$ и $x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 - 3x - 2 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-0.5, 2)$.

Пересекая с ОДЗ ($x \ge 0$), получаем: $(-0.5, 2) \cap [0, \infty) = [0, 2)$.

Ответ: $x \in [0, 2)$.

---

г) Исходное неравенство: $(3\sqrt{x}-2)^2 < 4x^2 - 12\sqrt{x} - 5$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Раскроем скобки в левой части:

$(3\sqrt{x})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{x} \cdot 2 + 2^2 < 4x^2 - 12\sqrt{x} - 5$

$9x - 12\sqrt{x} + 4 < 4x^2 - 12\sqrt{x} - 5$

Сократим $-12\sqrt{x}$:

$9x + 4 < 4x^2 - 5$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < 4x^2 - 9x - 5 - 4$

$4x^2 - 9x - 9 > 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 9x - 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225$.

$\sqrt{D} = 15$.

Корни: $x_1 = \frac{9 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -0.75$ и $x_2 = \frac{9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $4x^2 - 9x - 9 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -0.75) \cup (3, \infty)$.

Пересекая с ОДЗ ($x \ge 0$), получаем: $((-\infty, -0.75) \cup (3, \infty)) \cap [0, \infty) = (3, \infty)$.

Ответ: $x \in (3, \infty)$.