Номер 11.28, страница 293 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.28, страница 293.

Условие.

11.28 a) $\frac{1}{\sqrt{x+2}} + x < \frac{1}{\sqrt{x+2}} + 5;$

б) $\frac{2}{\sqrt{x+3}} + x < \frac{2}{\sqrt{x+3}} + 4;$

в) $\frac{3}{\sqrt{x+4}} + x > \frac{3}{\sqrt{x+4}} + 3;$

г) $\frac{4}{\sqrt{x+5}} + x > \frac{4}{\sqrt{x+5}} + 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное неравенство: $\frac{1}{\sqrt{x+2}} + x < \frac{1}{\sqrt{x+2}} + 5$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным: $x + 2 > 0$, откуда следует $x > -2$.

Теперь решим само неравенство. В обеих частях неравенства есть одинаковое слагаемое $\frac{1}{\sqrt{x+2}}$. Вычтем его из обеих частей: $(\frac{1}{\sqrt{x+2}} + x) - \frac{1}{\sqrt{x+2}} < (\frac{1}{\sqrt{x+2}} + 5) - \frac{1}{\sqrt{x+2}}$ $x < 5$

Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. То есть, должны выполняться два условия одновременно: $x > -2$ и $x < 5$. Это соответствует интервалу $(-2; 5)$.

Ответ: $x \in (-2; 5)$.

б)

Исходное неравенство: $\frac{2}{\sqrt{x+3}} + x < \frac{2}{\sqrt{x+3}} + 4$.

Определим ОДЗ. Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля: $x + 3 > 0$, откуда $x > -3$.

Упростим неравенство, вычтя из обеих частей одинаковое слагаемое $\frac{2}{\sqrt{x+3}}$: $x < 4$

Найдем пересечение решения с ОДЗ. Условия $x > -3$ и $x < 4$ должны выполняться одновременно. Это соответствует интервалу $(-3; 4)$.

Ответ: $x \in (-3; 4)$.

в)

Исходное неравенство: $\frac{3}{\sqrt{x+4}} + x > \frac{3}{\sqrt{x+4}} + 3$.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть положительным: $x + 4 > 0$, следовательно $x > -4$.

Решим неравенство. Вычтем из обеих частей слагаемое $\frac{3}{\sqrt{x+4}}$: $x > 3$

Объединим результат с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $x > 3$ и $x > -4$. Поскольку любое число, которое больше 3, автоматически больше и -4, решением будет $x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

г)

Исходное неравенство: $\frac{4}{\sqrt{x+5}} + x > \frac{4}{\sqrt{x+5}} + 2$.

Определим ОДЗ: подкоренное выражение $x+5$ должно быть строго положительным. $x + 5 > 0$, откуда $x > -5$.

Упростим неравенство, вычитая из обеих частей одинаковое слагаемое $\frac{4}{\sqrt{x+5}}$: $x > 2$

Найдем пересечение полученного решения $x > 2$ с ОДЗ $x > -5$. Общим решением будет $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.