Номер 11.21, страница 290 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.21, страница 290.

Условие.

11.21 a) $\frac{2|x-3|}{|x-5|} < \frac{|x-5|}{|x-3|}$

б) $\frac{2|x+1|}{|x+3|+|x-1|} < \frac{|x+3|-|x-1|}{|x+1|}$

В) $\frac{2|x+2|}{|x+3|} < \frac{|x+3|}{|x+2|}$

Г) $\frac{2|x+5|}{|x+3|+|x+7|} < \frac{|x+3|-|x+7|}{|x+5|}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное неравенство: $ \frac{2|x-3|}{|x-5|} < \frac{|x-5|}{|x-3|} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, то есть $|x-5| \neq 0$ и $|x-3| \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 5$ и $x \neq 3$.

Сделаем замену. Пусть $a = |x-3|$ и $b = |x-5|$. Так как это модули выражений, которые не равны нулю на ОДЗ, то $a > 0$ и $b > 0$. Неравенство принимает вид:

$ \frac{2a}{b} < \frac{b}{a} $

Так как $a$ и $b$ положительны, мы можем умножить обе части неравенства на $ab > 0$, не меняя знака неравенства:

$2a^2 < b^2$

$2a^2 - b^2 < 0$

$(\sqrt{2}a - b)(\sqrt{2}a + b) < 0$

Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, множитель $(\sqrt{2}a + b)$ всегда положителен. Следовательно, для выполнения неравенства, второй множитель должен быть отрицателен:

$\sqrt{2}a - b < 0 \implies \sqrt{2}a < b$

Выполним обратную замену:

$\sqrt{2}|x-3| < |x-5|$

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$2(x-3)^2 < (x-5)^2$

$2(x^2 - 6x + 9) < x^2 - 10x + 25$

$2x^2 - 12x + 18 < x^2 - 10x + 25$

$x^2 - 2x - 7 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 7 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32$

$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{2}$

Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 7$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 7 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (1 - 2\sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2})$.

Теперь учтем ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq 5$. Приближенные значения корней: $1 - 2\sqrt{2} \approx -1.83$ и $1 + 2\sqrt{2} \approx 3.83$. Точка $x=3$ находится внутри этого интервала, поэтому ее нужно исключить. Точка $x=5$ не входит в интервал.

Ответ: $x \in (1 - 2\sqrt{2}, 3) \cup (3, 1 + 2\sqrt{2})$.

б)

Исходное неравенство: $ \frac{2|x+1|}{|x+3|+|x-1|} < \frac{|x+3|-|x-1|}{|x+1|} $.

ОДЗ: $|x+1| \neq 0 \implies x \neq -1$. Знаменатель $|x+3|+|x-1|$ не равен нулю ни при каких $x$, так как является суммой двух неотрицательных чисел, которые не могут одновременно быть нулем.

Левая часть неравенства всегда неотрицательна (или равна нулю, если $x=-1$, что исключено ОДЗ). Чтобы неравенство имело решение, правая часть должна быть строго положительной:

$\frac{|x+3|-|x-1|}{|x+1|} > 0$

Так как знаменатель $|x+1| > 0$ на ОДЗ, то числитель также должен быть положителен: $|x+3| - |x-1| > 0 \implies |x+3| > |x-1|$.

Возведем в квадрат: $(x+3)^2 > (x-1)^2 \implies x^2+6x+9 > x^2-2x+1 \implies 8x > -8 \implies x > -1$.

Таким образом, мы ищем решения только при условии $x > -1$.

Умножим обе части исходного неравенства на $|x+1| \cdot (|x+3|+|x-1|)$, что является положительным выражением при $x > -1$.

$2|x+1|^2 < (|x+3|-|x-1|)(|x+3|+|x-1|)$

$2|x+1|^2 < |x+3|^2 - |x-1|^2$

$2(x+1)^2 < (x+3)^2 - (x-1)^2$

$2(x^2 + 2x + 1) < (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 2x + 1)$

$2x^2 + 4x + 2 < 8x + 8$

$2x^2 - 4x - 6 < 0 \implies x^2 - 2x - 3 < 0$

Решим уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни: $x_1 = 3, x_2 = -1$.

Неравенство $(x-3)(x+1) < 0$ выполняется для $x \in (-1, 3)$.

Это решение полностью удовлетворяет условию $x > -1$ и ОДЗ $x \neq -1$.

Ответ: $x \in (-1, 3)$.

в)

Исходное неравенство: $ \frac{2|x+2|}{|x+3|} < \frac{|x+3|}{|x+2|} $.

ОДЗ: $|x+3| \neq 0 \implies x \neq -3$ и $|x+2| \neq 0 \implies x \neq -2$.

Неравенство аналогично пункту а). Сделаем замену $a = |x+2|$ и $b = |x+3|$, где $a>0, b>0$.

$\frac{2a}{b} < \frac{b}{a} \implies 2a^2 < b^2 \implies \sqrt{2}a < b$

Выполним обратную замену:

$\sqrt{2}|x+2| < |x+3|$

Возведем в квадрат обе части:

$2(x+2)^2 < (x+3)^2$

$2(x^2 + 4x + 4) < x^2 + 6x + 9$

$2x^2 + 8x + 8 < x^2 + 6x + 9$

$x^2 + 2x - 1 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 1 = 0$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 8$

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

Решение неравенства: $x \in (-1 - \sqrt{2}, -1 + \sqrt{2})$.

Учтем ОДЗ ($x \neq -3, x \neq -2$). Приближенные значения корней: $-1 - \sqrt{2} \approx -2.41$ и $-1 + \sqrt{2} \approx 0.41$. Точка $x=-2$ попадает в этот интервал, поэтому ее нужно исключить. Точка $x=-3$ не входит в интервал.

Ответ: $x \in (-1 - \sqrt{2}, -2) \cup (-2, -1 + \sqrt{2})$.

г)

Исходное неравенство: $ \frac{2|x+5|}{|x+3|+|x+7|} < \frac{|x+3|-|x+7|}{|x+5|} $.

ОДЗ: $|x+5| \neq 0 \implies x \neq -5$.

Аналогично пункту б), левая часть неотрицательна, значит, правая должна быть положительной:

$|x+3| - |x+7| > 0 \implies |x+3| > |x+7|$

Возведем в квадрат: $(x+3)^2 > (x+7)^2 \implies x^2+6x+9 > x^2+14x+49 \implies -40 > 8x \implies x < -5$.

Итак, решения ищем только при $x < -5$.

Умножим обе части исходного неравенства на $|x+5| \cdot (|x+3|+|x+7|) > 0$:

$2|x+5|^2 < |x+3|^2 - |x+7|^2$

$2(x+5)^2 < (x+3)^2 - (x+7)^2$

$2(x^2 + 10x + 25) < (x^2+6x+9) - (x^2+14x+49)$

$2x^2 + 20x + 50 < -8x - 40$

$2x^2 + 28x + 90 < 0 \implies x^2 + 14x + 45 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 14x + 45 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-9, x_2=-5$.

Неравенство $(x+9)(x+5) < 0$ выполняется для $x \in (-9, -5)$.

Этот интервал полностью удовлетворяет условию $x < -5$ и ОДЗ $x \neq -5$.

Ответ: $x \in (-9, -5)$.