Номер 11.14, страница 288 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.14, страница 288.

Условие.

11.14 a) $\sqrt{6x-3} < |x+1|$;

б) $\sqrt{6+3x} > |2x+1|$;

B) $\sqrt{5x-1} > |3x-1|$;

Г) $\sqrt{7x+2} > |x+2|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt{6x - 3} < |x + 1|$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$6x - 3 \ge 0$
$6x \ge 3$
$x \ge \frac{1}{2}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

2. Обе части неравенства неотрицательны ($\sqrt{6x - 3} \ge 0$ и $|x + 1| \ge 0$), поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{6x - 3})^2 < (|x + 1|)^2$
$6x - 3 < (x + 1)^2$
$6x - 3 < x^2 + 2x + 1$
$0 < x^2 + 2x - 6x + 1 + 3$
$x^2 - 4x + 4 > 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство:
$x^2 - 4x + 4 > 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(x - 2)^2 > 0$
Квадрат любого числа, кроме нуля, является положительным числом. Выражение $(x - 2)^2$ равно нулю при $x = 2$. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = 2$.
Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
Необходимо, чтобы $x \ge \frac{1}{2}$ и $x \neq 2$.
Объединяя эти условия, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, 2) \cup (2, +\infty)$.

б) $\sqrt{6 + 3x} > |2x + 1|$

1. Найдем ОДЗ:
$6 + 3x \ge 0$
$3x \ge -6$
$x \ge -2$
ОДЗ: $x \in [-2, +\infty)$.

2. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому возводим их в квадрат:
$(\sqrt{6 + 3x})^2 > (|2x + 1|)^2$
$6 + 3x > (2x + 1)^2$
$6 + 3x > 4x^2 + 4x + 1$
$0 > 4x^2 + 4x - 3x + 1 - 6$
$4x^2 + x - 5 < 0$

3. Решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $4x^2 + x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm 9}{2 \cdot 4}$
$x_1 = \frac{-1 - 9}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$
$x_2 = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1$
Парабола $y = 4x^2 + x - 5$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $4x^2 + x - 5 < 0$ выполняется между корнями.
Решение: $x \in (-\frac{5}{4}, 1)$.

4. Учтем ОДЗ $x \ge -2$.
Поскольку $-2 < -\frac{5}{4}$, интервал $(-\frac{5}{4}, 1)$ полностью входит в область допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{4}, 1)$.

в) $\sqrt{5x - 1} > |3x - 1|$

1. Найдем ОДЗ:
$5x - 1 \ge 0$
$5x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{5}$
ОДЗ: $x \in [\frac{1}{5}, +\infty)$.

2. Возведем в квадрат обе неотрицательные части неравенства:
$(\sqrt{5x - 1})^2 > (|3x - 1|)^2$
$5x - 1 > (3x - 1)^2$
$5x - 1 > 9x^2 - 6x + 1$
$0 > 9x^2 - 6x - 5x + 1 + 1$
$9x^2 - 11x + 2 < 0$

3. Решим квадратное неравенство $9x^2 - 11x + 2 < 0$. Найдем корни уравнения $9x^2 - 11x + 2 = 0$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 121 - 72 = 49 = 7^2$
$x_{1,2} = \frac{11 \pm 7}{2 \cdot 9}$
$x_1 = \frac{11 - 7}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$
$x_2 = \frac{11 + 7}{18} = \frac{18}{18} = 1$
Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство выполняется между корнями.
Решение: $x \in (\frac{2}{9}, 1)$.

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ $x \ge \frac{1}{5}$.
Сравним $\frac{1}{5}$ и $\frac{2}{9}$. $\frac{1}{5} = \frac{9}{45}$, а $\frac{2}{9} = \frac{10}{45}$.
Так как $\frac{1}{5} < \frac{2}{9}$, ОДЗ $x \in [\frac{1}{5}, +\infty)$ и решение $x \in (\frac{2}{9}, 1)$ пересекаются на интервале $(\frac{2}{9}, 1)$.

Ответ: $x \in (\frac{2}{9}, 1)$.

г) $\sqrt{7x + 2} > |x + 2|$

1. Найдем ОДЗ:
$7x + 2 \ge 0$
$7x \ge -2$
$x \ge -\frac{2}{7}$
ОДЗ: $x \in [-\frac{2}{7}, +\infty)$.

2. Возведем в квадрат обе неотрицательные части неравенства:
$(\sqrt{7x + 2})^2 > (|x + 2|)^2$
$7x + 2 > (x + 2)^2$
$7x + 2 > x^2 + 4x + 4$
$0 > x^2 + 4x - 7x + 4 - 2$
$x^2 - 3x + 2 < 0$

3. Решим квадратное неравенство $x^2 - 3x + 2 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
Решение: $x \in (1, 2)$.

4. Учтем ОДЗ $x \ge -\frac{2}{7}$.
Интервал $(1, 2)$ полностью содержится в области допустимых значений, так как $-\frac{2}{7} < 1$.

Ответ: $x \in (1, 2)$.