Номер 11.9, страница 288 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.9, страница 288.

Условие.

11.9 а) $\sqrt{x+1} > x-1;$

B) $\sqrt{2x+1} > x-1;$

б) $\sqrt{x+4} > x-2;$

Г) $\sqrt{3x+4} > x-2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{x+1} > x-1$.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем.

1. Первый случай, когда правая часть неравенства отрицательна. Неравенство будет верным для всех $x$ из области допустимых значений (ОДЗ) подкоренного выражения.
$ \begin{cases} x-1 < 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 1 \\ x \ge -1 \end{cases} $
Решением этой системы является промежуток $x \in [-1, 1)$.

2. Второй случай, когда правая часть неравенства неотрицательна. В этом случае обе части неравенства можно возвести в квадрат.
$ \begin{cases} x-1 \ge 0 \\ (\sqrt{x+1})^2 > (x-1)^2 \end{cases} $
Решаем второе неравенство системы:
$x+1 > x^2 - 2x + 1$
$0 > x^2 - 3x$
$x(x-3) < 0$
Решением этого квадратного неравенства является интервал $(0, 3)$.
Теперь вернемся к системе и найдем пересечение полученного решения с условием $x-1 \ge 0$:
$ \begin{cases} x \ge 1 \\ 0 < x < 3 \end{cases} $
Решением этой системы является промежуток $x \in [1, 3)$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, получаем окончательный ответ:
$[-1, 1) \cup [1, 3) = [-1, 3)$.
Ответ: $x \in [-1, 3)$.

б) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{x+4} > x-2$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем.

1. Случай, когда $x-2 < 0$.
$ \begin{cases} x-2 < 0 \\ x+4 \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 2 \\ x \ge -4 \end{cases} $
Решение системы: $x \in [-4, 2)$.

2. Случай, когда $x-2 \ge 0$. Возводим обе части в квадрат.
$ \begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x+4 > (x-2)^2 \end{cases} $
Решаем второе неравенство:
$x+4 > x^2 - 4x + 4$
$0 > x^2 - 5x$
$x(x-5) < 0$
Решение: $x \in (0, 5)$.
Находим пересечение с условием $x-2 \ge 0$:
$ \begin{cases} x \ge 2 \\ x \in (0, 5) \end{cases} $
Решение системы: $x \in [2, 5)$.

Объединяем решения из двух случаев:
$[-4, 2) \cup [2, 5) = [-4, 5)$.
Ответ: $x \in [-4, 5)$.

в) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{2x+1} > x-1$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем.

1. Случай, когда $x-1 < 0$.
$ \begin{cases} x-1 < 0 \\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 1 \\ x \ge -1/2 \end{cases} $
Решение системы: $x \in [-1/2, 1)$.

2. Случай, когда $x-1 \ge 0$. Возводим обе части в квадрат.
$ \begin{cases} x-1 \ge 0 \\ 2x+1 > (x-1)^2 \end{cases} $
Решаем второе неравенство:
$2x+1 > x^2 - 2x + 1$
$0 > x^2 - 4x$
$x(x-4) < 0$
Решение: $x \in (0, 4)$.
Находим пересечение с условием $x-1 \ge 0$:
$ \begin{cases} x \ge 1 \\ x \in (0, 4) \end{cases} $
Решение системы: $x \in [1, 4)$.

Объединяем решения из двух случаев:
$[-1/2, 1) \cup [1, 4) = [-1/2, 4)$.
Ответ: $x \in [-1/2, 4)$.

г) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{3x+4} > x-2$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем.

1. Случай, когда $x-2 < 0$.
$ \begin{cases} x-2 < 0 \\ 3x+4 \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 2 \\ x \ge -4/3 \end{cases} $
Решение системы: $x \in [-4/3, 2)$.

2. Случай, когда $x-2 \ge 0$. Возводим обе части в квадрат.
$ \begin{cases} x-2 \ge 0 \\ 3x+4 > (x-2)^2 \end{cases} $
Решаем второе неравенство:
$3x+4 > x^2 - 4x + 4$
$0 > x^2 - 7x$
$x(x-7) < 0$
Решение: $x \in (0, 7)$.
Находим пересечение с условием $x-2 \ge 0$:
$ \begin{cases} x \ge 2 \\ x \in (0, 7) \end{cases} $
Решение системы: $x \in [2, 7)$.

Объединяем решения из двух случаев:
$[-4/3, 2) \cup [2, 7) = [-4/3, 7)$.
Ответ: $x \in [-4/3, 7)$.