Номер 11.4, страница 284 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.4, страница 284.

Условие.

11.4° Перечислите основные преобразования неравенств, приводящие данное неравенство к неравенству, равносильному ему на некотором множестве чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Равносильным преобразованием неравенства на некотором множестве $M$ называется переход от одного неравенства к другому, имеющему то же самое множество решений, что и исходное, на множестве $M$. Обычно в качестве множества $M$ выступает область допустимых значений (ОДЗ) исходного неравенства.

Основные равносильные преобразования неравенств:

1. Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую

Любой член неравенства можно перенести из одной его части в другую, изменив при этом его знак на противоположный. Это преобразование не меняет ОДЗ неравенства. Например, неравенство $f(x) + h(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) > g(x) - h(x)$.

Ответ: Перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком является равносильным преобразованием.

2. Умножение (деление) обеих частей неравенства на положительное число или выражение

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знака неравенства. Также можно умножить (разделить) обе части неравенства на выражение $h(x)$, если известно, что на ОДЗ исходного неравенства $h(x) > 0$. Знак неравенства при этом сохраняется. Например, если $h(x) > 0$ на ОДЗ, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x)$.

Ответ: Умножение или деление обеих частей неравенства на строго положительное число или выражение сохраняет знак неравенства и является равносильным преобразованием (на множестве, где это выражение определено и положительно).

3. Умножение (деление) обеих частей неравенства на отрицательное число или выражение

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. Также можно умножить (разделить) обе части неравенства на выражение $h(x)$, если известно, что на ОДЗ исходного неравенства $h(x) < 0$. Знак неравенства при этом необходимо изменить на противоположный. Например, если $h(x) < 0$ на ОДЗ, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) < g(x) \cdot h(x)$.

Ответ: Умножение или деление обеих частей неравенства на строго отрицательное число или выражение с обязательным изменением знака неравенства на противоположный является равносильным преобразованием (на множестве, где это выражение определено и отрицательно).

4. Возведение обеих частей неравенства в нечетную степень

Обе части неравенства можно возвести в одну и ту же нечетную натуральную степень, при этом знак неравенства не изменится. Это следует из того, что функция $y=t^n$ при нечетном натуральном $n$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $(f(x))^{2k+1} > (g(x))^{2k+1}$, где $k \in \mathbb{N}$. Это преобразование не изменяет ОДЗ.

Ответ: Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную натуральную степень является равносильным преобразованием, сохраняющим знак неравенства.

5. Возведение обеих частей неравенства в четную степень

Если обе части неравенства $f(x) > g(x)$ неотрицательны на некотором множестве $M$ (входящем в ОДЗ), то на этом множестве оно равносильно неравенству $(f(x))^{2k} > (g(x))^{2k}$, где $k \in \mathbb{N}$. Если хотя бы одна из частей может быть отрицательной, такое преобразование не является равносильным. То есть, преобразование $f(x) > g(x) \Leftrightarrow f^{2k}(x) > g^{2k}(x)$ равносильно при условии $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.

Ответ: Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же четную натуральную степень является равносильным преобразованием только на том множестве, где обе части неравенства неотрицательны; знак неравенства при этом сохраняется.

6. Применение монотонно возрастающей функции к обеим частям неравенства

Если функция $\phi(t)$ является монотонно возрастающей, то применение её к обеим частям неравенства сохраняет знак неравенства. Неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $\phi(f(x)) > \phi(g(x))$. При этом необходимо учитывать изменение ОДЗ: новое ОДЗ будет пересечением старого ОДЗ и условий, при которых выражения $\phi(f(x))$ и $\phi(g(x))$ имеют смысл. Примеры таких функций: $y = a^t$ при $a > 1$; $y = \log_a t$ при $a > 1$ (требует $f(x)>0, g(x)>0$).

Ответ: Применение монотонно возрастающей функции к обеим частям неравенства является равносильным преобразованием (с учетом ОДЗ), сохраняющим знак неравенства.

7. Применение монотонно убывающей функции к обеим частям неравенства

Если функция $\psi(t)$ является монотонно убывающей, то применение её к обеим частям неравенства изменяет знак неравенства на противоположный. Неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $\psi(f(x)) < \psi(g(x))$. Как и в предыдущем пункте, нужно учитывать ОДЗ. Примеры таких функций: $y = a^t$ при $0 < a < 1$; $y = \log_a t$ при $0 < a < 1$ (требует $f(x)>0, g(x)>0$).

Ответ: Применение монотонно убывающей функции к обеим частям неравенства является равносильным преобразованием (с учетом ОДЗ), которое изменяет знак неравенства на противоположный.