Номер 11.2, страница 284 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.2, страница 284.

Условие.

11.2° a) Что называют равносильным переходом на множестве $M$ от одного неравенства к другому?

б) В каком случае говорят, что неравенства равносильны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Пусть даны два неравенства с одной переменной $x$, например, $f_1(x) > g_1(x)$ и $f_2(x) > g_2(x)$, и задано некоторое числовое множество $M$, которое является подмножеством области допустимых значений (ОДЗ) для обоих неравенств. Переход от первого неравенства ко второму называют равносильным на множестве $M$, если множество решений первого неравенства, принадлежащих $M$, в точности совпадает с множеством решений второго неравенства, также принадлежащих $M$.

Другими словами, если обозначить множество решений первого неравенства как $X_1$, а второго — как $X_2$, то переход от первого неравенства ко второму является равносильным на множестве $M$, если выполняется равенство $X_1 \cap M = X_2 \cap M$.

Ответ: Равносильным переходом на множестве $M$ от одного неравенства к другому называют такой переход, при котором множество решений первого неравенства, входящих в $M$, совпадает с множеством решений второго неравенства, входящих в $M$.

б) Два неравенства называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Это значит, что любое решение первого неравенства является решением второго, и, наоборот, любое решение второго неравенства является решением первого. Обычно равносильность рассматривается на общей области определения этих неравенств.

Например, неравенства $5x > 10$ и $x - 2 > 0$ являются равносильными, поскольку решением каждого из них является множество всех чисел, больших 2, то есть интервал $(2; +\infty)$.

Также важно отметить, что два неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными. Например, неравенства $x^2 < -1$ и $|x| < -5$ равносильны, так как множество решений у обоих пустое (обозначается как $\emptyset$).

Ответ: Говорят, что неравенства равносильны, если множества их решений совпадают.