Номер 11.1, страница 284 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.1, страница 284.

Условие.

11.1° Какие неравенства называют равносильными на множестве $M$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

11.1° Два неравенства называют равносильными (или эквивалентными) на множестве $M$, если множества их решений, принадлежащих этому множеству $M$, совпадают. Иными словами, любое число из множества $M$, которое обращает одно неравенство в верное числовое неравенство, обращает в верное и другое, и наоборот.

Если $X_1$ — это множество всех решений первого неравенства, а $X_2$ — множество всех решений второго, то их равносильность на множестве $M$ означает, что выполняется равенство $X_1 \cap M = X_2 \cap M$. Если два неравенства не имеют решений на множестве $M$, они также считаются равносильными на этом множестве, так как их множества решений на $M$ оба являются пустыми.

Пример:
Рассмотрим неравенства $x^2 > 9$ и $x > 3$.
Решением неравенства $x^2 > 9$ является множество $X_1 = (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
Решением неравенства $x > 3$ является множество $X_2 = (3; +\infty)$.
На множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$ эти неравенства не равносильны, так как их множества решений $X_1$ и $X_2$ не совпадают.
Однако, если рассмотреть эти неравенства на множестве положительных чисел $M = (0; +\infty)$, то мы получим:
- Для первого неравенства: $X_1 \cap M = ((-\infty; -3) \cup (3; +\infty)) \cap (0; +\infty) = (3; +\infty)$.
- Для второго неравенства: $X_2 \cap M = (3; +\infty) \cap (0; +\infty) = (3; +\infty)$.
Поскольку множества решений на множестве $M$ совпадают, данные неравенства являются равносильными на множестве $M = (0; +\infty)$.

Ответ: Два неравенства называются равносильными на множестве $M$, если множество решений первого неравенства, принадлежащих $M$, совпадает с множеством решений второго неравенства, принадлежащих $M$.