Номер 11.3, страница 284 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.3, страница 284.

Условие.

11.3° Приведите пример неравенств, равносильных:

a) на множестве положительных чисел;

б) на множестве отрицательных чисел;

в) на множестве всех действительных чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) на множестве положительных чисел;

Два неравенства называются равносильными на некотором множестве, если множества их решений, принадлежащие этому множеству, совпадают. Рассмотрим в качестве примера неравенства $x > 2$ и $x^2 > 4$ на множестве положительных чисел, то есть при $x > 0$.

1. Множество решений неравенства $x > 2$ — это интервал $(2, +\infty)$. Все числа из этого интервала положительны, поэтому на множестве положительных чисел решение не меняется: $(2, +\infty)$.

2. Решим неравенство $x^2 > 4$. Оно равносильно $x^2 - 4 > 0$, или $(x-2)(x+2) > 0$. Решением является объединение интервалов $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$. Чтобы найти решение на множестве положительных чисел, найдем пересечение этого множества с интервалом $(0, +\infty)$: $((-\infty, -2) \cup (2, +\infty)) \cap (0, +\infty) = (2, +\infty)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств на множестве положительных чисел совпадают, данные неравенства равносильны на этом множестве. При этом на множестве всех действительных чисел они не равносильны, так как их множества решений $(2, +\infty)$ и $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ не совпадают.

Ответ: $x > 2$ и $x^2 > 4$.

б) на множестве отрицательных чисел;

Рассмотрим в качестве примера неравенства $x < -3$ и $x^2 > -3x$ на множестве отрицательных чисел, то есть при $x < 0$.

1. Множество решений неравенства $x < -3$ — это интервал $(-\infty, -3)$. Все числа из этого интервала являются отрицательными, поэтому это и есть решение на множестве отрицательных чисел.

2. Решим неравенство $x^2 > -3x$. Перенесем все слагаемые в левую часть: $x^2 + 3x > 0$. Разложим на множители: $x(x+3) > 0$. Решением является объединение интервалов $(-\infty, -3) \cup (0, +\infty)$. Чтобы найти решение на множестве отрицательных чисел, найдем пересечение этого множества с интервалом $(-\infty, 0)$: $((-\infty, -3) \cup (0, +\infty)) \cap (-\infty, 0) = (-\infty, -3)$.

Множества решений обоих неравенств на множестве отрицательных чисел совпадают и равны $(-\infty, -3)$, следовательно, неравенства равносильны на этом множестве.

Ответ: $x < -3$ и $x^2 > -3x$.

в) на множестве всех действительных чисел.

На множестве всех действительных чисел неравенства равносильны, если их множества решений полностью совпадают. Такие неравенства получаются друг из друга с помощью равносильных преобразований.

Рассмотрим в качестве примера неравенства $2x > 8$ и $x - 1 > 3$.

1. Решим неравенство $2x > 8$. Разделим обе части на положительное число 2, знак неравенства при этом сохраняется: $x > 4$. Множество решений — интервал $(4, +\infty)$.

2. Решим неравенство $x - 1 > 3$. Прибавим к обеим частям 1: $x > 3 + 1$, что дает $x > 4$. Множество решений — интервал $(4, +\infty)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они являются равносильными на множестве всех действительных чисел.

Ответ: $2x > 8$ и $x - 1 > 3$.