Номер 11.3, страница 284 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.3, страница 284.
№11.3 (с. 284)
Условие. №11.3 (с. 284)
скриншот условия

11.3° Приведите пример неравенств, равносильных:
a) на множестве положительных чисел;
б) на множестве отрицательных чисел;
в) на множестве всех действительных чисел.
Решение 1. №11.3 (с. 284)



Решение 2. №11.3 (с. 284)

Решение 4. №11.3 (с. 284)
а) на множестве положительных чисел;
Два неравенства называются равносильными на некотором множестве, если множества их решений, принадлежащие этому множеству, совпадают. Рассмотрим в качестве примера неравенства $x > 2$ и $x^2 > 4$ на множестве положительных чисел, то есть при $x > 0$.
1. Множество решений неравенства $x > 2$ — это интервал $(2, +\infty)$. Все числа из этого интервала положительны, поэтому на множестве положительных чисел решение не меняется: $(2, +\infty)$.
2. Решим неравенство $x^2 > 4$. Оно равносильно $x^2 - 4 > 0$, или $(x-2)(x+2) > 0$. Решением является объединение интервалов $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$. Чтобы найти решение на множестве положительных чисел, найдем пересечение этого множества с интервалом $(0, +\infty)$: $((-\infty, -2) \cup (2, +\infty)) \cap (0, +\infty) = (2, +\infty)$.
Поскольку множества решений обоих неравенств на множестве положительных чисел совпадают, данные неравенства равносильны на этом множестве. При этом на множестве всех действительных чисел они не равносильны, так как их множества решений $(2, +\infty)$ и $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ не совпадают.
Ответ: $x > 2$ и $x^2 > 4$.
б) на множестве отрицательных чисел;
Рассмотрим в качестве примера неравенства $x < -3$ и $x^2 > -3x$ на множестве отрицательных чисел, то есть при $x < 0$.
1. Множество решений неравенства $x < -3$ — это интервал $(-\infty, -3)$. Все числа из этого интервала являются отрицательными, поэтому это и есть решение на множестве отрицательных чисел.
2. Решим неравенство $x^2 > -3x$. Перенесем все слагаемые в левую часть: $x^2 + 3x > 0$. Разложим на множители: $x(x+3) > 0$. Решением является объединение интервалов $(-\infty, -3) \cup (0, +\infty)$. Чтобы найти решение на множестве отрицательных чисел, найдем пересечение этого множества с интервалом $(-\infty, 0)$: $((-\infty, -3) \cup (0, +\infty)) \cap (-\infty, 0) = (-\infty, -3)$.
Множества решений обоих неравенств на множестве отрицательных чисел совпадают и равны $(-\infty, -3)$, следовательно, неравенства равносильны на этом множестве.
Ответ: $x < -3$ и $x^2 > -3x$.
в) на множестве всех действительных чисел.
На множестве всех действительных чисел неравенства равносильны, если их множества решений полностью совпадают. Такие неравенства получаются друг из друга с помощью равносильных преобразований.
Рассмотрим в качестве примера неравенства $2x > 8$ и $x - 1 > 3$.
1. Решим неравенство $2x > 8$. Разделим обе части на положительное число 2, знак неравенства при этом сохраняется: $x > 4$. Множество решений — интервал $(4, +\infty)$.
2. Решим неравенство $x - 1 > 3$. Прибавим к обеим частям 1: $x > 3 + 1$, что дает $x > 4$. Множество решений — интервал $(4, +\infty)$.
Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они являются равносильными на множестве всех действительных чисел.
Ответ: $2x > 8$ и $x - 1 > 3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.3 расположенного на странице 284 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.3 (с. 284), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.