Номер 10.49, страница 283 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.49, страница 283.

Условие.

10.49 a) $\sin^2 x - \sin 2x - 3 \cos^2 x = 0, \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right);$

б) $5 \sin^2 x - 2 \sin 2x - \cos^2 x = 0, \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $sin^2x - sin(2x) - 3cos^2x = 0$, найти корни на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$

Сначала решим уравнение. Используем формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinxcosx$:

$sin^2x - 2sinxcosx - 3cos^2x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $cosx = 0$ решением. Если $cosx = 0$, то $sin^2x = 1$. Подставим в уравнение:

$1 - 2sinx \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 1 \neq 0$

Так как $cosx=0$ не является решением, мы можем разделить обе части уравнения на $cos^2x \neq 0$:

$\frac{sin^2x}{cos^2x} - \frac{2sinxcosx}{cos^2x} - \frac{3cos^2x}{cos^2x} = 0$

$tan^2x - 2tanx - 3 = 0$

Сделаем замену $t = tanx$. Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим его. По теореме Виета корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к замене:

1) $tanx = 3 \implies x = arctan(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $tanx = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь отберем корни, принадлежащие интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Для серии $x = arctan(3) + \pi n$:

При $n=0$, $x = arctan(3)$. Так как $0 < \frac{\pi}{2}$, $tan(0)=0$, $tan(\frac{\pi}{2})$ не определен, а тангенс возрастает на $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то корень $arctan(3)$ принадлежит этому интервалу. При $n=1$ корень $arctan(3)+\pi$ будет больше $\frac{\pi}{2}$, а при $n=-1$ корень $arctan(3)-\pi$ будет меньше $-\frac{\pi}{2}$.

Для серии $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$:

При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Этот корень принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. При $k=1$ корень $\frac{3\pi}{4}$ будет больше $\frac{\pi}{2}$, а при $k=-1$ корень $-\frac{5\pi}{4}$ будет меньше $-\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, на заданном интервале есть два корня.

Ответ: $arctan(3); -\frac{\pi}{4}$.

б) $5sin^2x - 2sin(2x) - cos^2x = 0$, найти корни на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$

Применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinxcosx$:

$5sin^2x - 2(2sinxcosx) - cos^2x = 0$

$5sin^2x - 4sinxcosx - cos^2x = 0$

Это также однородное уравнение. Проверим случай $cosx=0$. Если $cosx=0$, то $sin^2x=1$. Подставим в уравнение:

$5 \cdot 1 - 4sinx \cdot 0 - 0 = 5 \neq 0$

Значит, $cosx \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $cos^2x$:

$\frac{5sin^2x}{cos^2x} - \frac{4sinxcosx}{cos^2x} - \frac{cos^2x}{cos^2x} = 0$

$5tan^2x - 4tanx - 1 = 0$

Сделаем замену $t = tanx$:

$5t^2 - 4t - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{4+6}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$ и $t_2 = \frac{4-6}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.

Вернемся к замене:

1) $tanx = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $tanx = -\frac{1}{5} \implies x = arctan(-\frac{1}{5}) + \pi k = -arctan(\frac{1}{5}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, принадлежащие интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Для серии $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$:

При $n=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Этот корень принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Для серии $x = -arctan(\frac{1}{5}) + \pi k$:

При $k=0$, $x = -arctan(\frac{1}{5})$. Так как $0 < arctan(\frac{1}{5}) < \frac{\pi}{2}$, то $-\frac{\pi}{2} < -arctan(\frac{1}{5}) < 0$, следовательно, корень принадлежит заданному интервалу.

Другие целочисленные значения $n$ и $k$ дают корни, не входящие в заданный интервал.

Ответ: $\frac{\pi}{4}; -arctan(\frac{1}{5})$.