Номер 10.44, страница 281 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.44, страница 281.

Условие.

10.44* a) $ \frac{1}{\sqrt{x-1}} = (x-1)^{\log_{\frac{1}{25}}(8+2x-x^2)} $;

б) $ \frac{1}{\sqrt{2x-1}} = (2x-1)^{\log_{\frac{1}{4}}(1+7x-2x^2)} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Решим уравнение $ \frac{1}{\sqrt{x-1}} = (x-1)^{\log_{\frac{1}{25}}(8+2x-x^2)} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение имеет смысл, если выполнены следующие условия:

$ \begin{cases} x-1 > 0 & \text{(подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным)} \\ 8+2x-x^2 > 0 & \text{(аргумент логарифма должен быть положительным)} \end{cases} $

Из первого неравенства получаем: $ x > 1 $.

Решим второе неравенство: $ -x^2+2x+8 > 0 $, или $ x^2 - 2x - 8 < 0 $. Найдем корни квадратного трехчлена $ x^2 - 2x - 8 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = -2 $ и $ x_2 = 4 $. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $ x^2 - 2x - 8 < 0 $ выполняется между корнями, то есть при $ x \in (-2, 4) $.

Пересекая оба условия ($ x > 1 $ и $ x \in (-2, 4) $), получаем ОДЗ: $ x \in (1, 4) $.

Теперь преобразуем исходное уравнение. Левую часть можно записать в виде степени с основанием $ (x-1) $:

$ \frac{1}{\sqrt{x-1}} = (x-1)^{-\frac{1}{2}} $.

Уравнение принимает вид:

$ (x-1)^{-\frac{1}{2}} = (x-1)^{\log_{\frac{1}{25}}(8+2x-x^2)} $.

Это показательное уравнение вида $ a^{f(x)} = a^{g(x)} $. Оно равносильно совокупности двух случаев с учетом ОДЗ:

1. Основание степени равно 1.
$ x-1 = 1 \implies x = 2 $.
Проверим, принадлежит ли этот корень ОДЗ. $ 2 \in (1, 4) $, значит, $ x=2 $ является решением.

2. Показатели степеней равны (при условии, что основание $ x-1 > 0 $ и $ x-1 \neq 1 $).
$ -\frac{1}{2} = \log_{\frac{1}{25}}(8+2x-x^2) $.
По определению логарифма:
$ 8+2x-x^2 = \left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} = (25^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5 $.
Получаем квадратное уравнение:
$ 8+2x-x^2 = 5 $
$ -x^2+2x+3 = 0 $
$ x^2 - 2x - 3 = 0 $.
По теореме Виета, корни уравнения: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -1 $.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $ x \in (1, 4) $:
$ x_1 = 3 $: корень принадлежит ОДЗ.
$ x_2 = -1 $: корень не принадлежит ОДЗ.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $ \{2; 3\} $.

б)

Решим уравнение $ \frac{1}{\sqrt{2x-1}} = (2x-1)^{\log_{\frac{1}{4}}(1+7x-2x^2)} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 2x-1 > 0 \\ 1+7x-2x^2 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем: $ 2x > 1 \implies x > \frac{1}{2} $.

Решим второе неравенство: $ -2x^2+7x+1 > 0 $, или $ 2x^2 - 7x - 1 < 0 $. Найдем корни уравнения $ 2x^2 - 7x - 1 = 0 $.
Дискриминант $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 49 + 8 = 57 $.
Корни: $ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{4} $.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $ 2x^2 - 7x - 1 < 0 $ выполняется при $ x \in (\frac{7 - \sqrt{57}}{4}, \frac{7 + \sqrt{57}}{4}) $.

Найдем пересечение условий $ x > \frac{1}{2} $ и $ x \in (\frac{7 - \sqrt{57}}{4}, \frac{7 + \sqrt{57}}{4}) $.
Так как $ \sqrt{49} < \sqrt{57} < \sqrt{64} $, то $ 7 < \sqrt{57} < 8 $.
Следовательно, $ 7 - \sqrt{57} < 0 $, и $ \frac{7 - \sqrt{57}}{4} < 0 $.
Поэтому ОДЗ определяется интервалом $ x \in (\frac{1}{2}, \frac{7 + \sqrt{57}}{4}) $.

Преобразуем исходное уравнение:

$ (2x-1)^{-\frac{1}{2}} = (2x-1)^{\log_{\frac{1}{4}}(1+7x-2x^2)} $.

Рассмотрим два случая:

1. Основание степени равно 1.
$ 2x-1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1 $.
Проверим, принадлежит ли $ x=1 $ ОДЗ: $ \frac{1}{2} < 1 < \frac{7 + \sqrt{57}}{4} $ (неравенство $ 1 < \frac{7+\sqrt{57}}{4} \iff 4 < 7+\sqrt{57} \iff -3 < \sqrt{57} $ верно). Следовательно, $ x=1 $ является решением.

2. Показатели степеней равны.
$ -\frac{1}{2} = \log_{\frac{1}{4}}(1+7x-2x^2) $.
По определению логарифма:
$ 1+7x-2x^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = (4^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 $.
Получаем квадратное уравнение:
$ 1+7x-2x^2 = 2 $
$ -2x^2+7x-1 = 0 $
$ 2x^2 - 7x + 1 = 0 $.
Дискриминант $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 49 - 8 = 41 $.
Корни: $ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{4} $.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $ x \in (\frac{1}{2}, \frac{7 + \sqrt{57}}{4}) $:
$ x_1 = \frac{7 - \sqrt{41}}{4} $. Так как $ 6 < \sqrt{41} < 7 $, то $ 0 < 7 - \sqrt{41} < 1 $, и $ 0 < \frac{7 - \sqrt{41}}{4} < \frac{1}{4} $. Этот корень не удовлетворяет условию $ x > \frac{1}{2} $.
$ x_2 = \frac{7 + \sqrt{41}}{4} $. Проверим: $ \frac{7+\sqrt{41}}{4} > \frac{1}{2} \iff 7+\sqrt{41} > 2 \iff 5 > -\sqrt{41} $ (верно). Также $ \frac{7+\sqrt{41}}{4} < \frac{7+\sqrt{57}}{4} \iff \sqrt{41} < \sqrt{57} $ (верно). Корень принадлежит ОДЗ.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $ \{1; \frac{7 + \sqrt{41}}{4}\} $.