Номер 10.37, страница 280 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.37, страница 280.

Условие.

10.37 a) $\lg(x - 1) + \sqrt{9 - x^2} = \lg(x - 1) + \sqrt{x + 5};$

б) $\lg(1 - x) + \sqrt{25 - x^2} = \lg(1 - x) + \sqrt{x + 16}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано уравнение: $lg(x-1) + \sqrt{9-x^2} = lg(x-1) + \sqrt{x+5}$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, а выражения под знаками квадратных корней — неотрицательными.
Система неравенств для ОДЗ:
1. $x - 1 > 0 \implies x > 1$
2. $9 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 9 \implies -3 \le x \le 3$
3. $x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5$
Найдем пересечение этих трех условий: $x \in (1, 3]$.

Теперь решим уравнение. Заметим, что слагаемое $lg(x-1)$ присутствует в обеих частях уравнения. Вычтем его из обеих частей:
$\sqrt{9-x^2} = \sqrt{x+5}$
Поскольку обе части уравнения неотрицательны в ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней:
$9 - x^2 = x + 5$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + x + 5 - 9 = 0$
$x^2 + x - 4 = 0$
Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ: $x \in (1, 3]$.
Корень $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$ является отрицательным числом, так как $\sqrt{17} > 0$. Следовательно, он не входит в ОДЗ.
Проверим корень $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$. Оценим его значение. Мы знаем, что $4^2=16$ и $5^2=25$, значит $4 < \sqrt{17} < 5$.
Тогда $4-1 < \sqrt{17}-1 < 5-1 \implies 3 < \sqrt{17}-1 < 4$.
Разделив на 2, получим: $\frac{3}{2} < \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} < \frac{4}{2}$, то есть $1.5 < x_2 < 2$.
Это значение принадлежит интервалу $(1, 3]$, следовательно, $x_2$ является решением уравнения.

Ответ: $x = \frac{\sqrt{17}-1}{2}$

б)

Дано уравнение: $lg(1-x) + \sqrt{25-x^2} = lg(1-x) + \sqrt{x+16}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. $1 - x > 0 \implies x < 1$
2. $25 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 25 \implies -5 \le x \le 5$
3. $x + 16 \ge 0 \implies x \ge -16$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in [-5, 1)$.

Упростим уравнение, вычтя $lg(1-x)$ из обеих частей:
$\sqrt{25-x^2} = \sqrt{x+16}$
Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$25 - x^2 = x + 16$
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 + x + 16 - 25 = 0$
$x^2 + x - 9 = 0$
Решим через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 1 + 36 = 37$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{37}}{2}$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{37}}{2}$

Проверим принадлежность корней ОДЗ: $x \in [-5, 1)$.
Для корня $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{37}}{2}$: оценим его значение. Мы знаем, что $6^2=36$ и $7^2=49$, значит $6 < \sqrt{37} < 7$.
Тогда $-1-7 < -1-\sqrt{37} < -1-6 \implies -8 < -1-\sqrt{37} < -7$.
Разделив на 2, получим: $-4 < x_1 < -3.5$.
Это значение принадлежит интервалу $[-5, 1)$, следовательно, $x_1$ является решением.
Для корня $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{37}}{2}$: оценим его значение. $6 < \sqrt{37} < 7$.
Тогда $6-1 < \sqrt{37}-1 < 7-1 \implies 5 < \sqrt{37}-1 < 6$.
Разделив на 2, получим: $2.5 < x_2 < 3$.
Это значение не входит в интервал $[-5, 1)$, так как $x_2 > 1$.

Ответ: $x = \frac{-1 - \sqrt{37}}{2}$