Номер 10.43, страница 281 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.43, страница 281.

Условие.

10.43* a) $(x^2 + 1)^{\sqrt{8x - x^2 - 15}} = (2x + 9)^{\sqrt{8x - x^2 - 15}},$

б) $(x^2 - 8)^{\sqrt{24x - 4x^2 - 35}} = (7x - 20)^{\sqrt{24x - 4x^2 - 35}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Данное уравнение является показательно-степенным и имеет вид $f(x)^{h(x)} = g(x)^{h(x)}$. Его решение возможно при рассмотрении следующих случаев.

1. Область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение в показателе степени находится под знаком квадратного корня, поэтому оно должно быть неотрицательным: $8x - x^2 - 15 \ge 0$.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 8x + 15 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$. Так как парабола $y = x^2 - 8x + 15$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями: $x \in [3, 5]$.
Для вещественного показателя степени основания должны быть положительными. Основание $x^2 + 1$ всегда больше нуля при любом $x$. Основание $2x + 9$ должно быть положительным: $2x + 9 > 0 \implies x > -4.5$. Это условие выполняется для всех $x$ из отрезка $[3, 5]$. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in [3, 5]$.

2. Случай 1: Показатель степени равен нулю.
Если показатель степени равен нулю, а основания не равны нулю, то равенство верно, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.
$\sqrt{8x - x^2 - 15} = 0$
$8x - x^2 - 15 = 0$
Корнями этого уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.
Оба корня принадлежат ОДЗ. При этих значениях $x$ основания степеней не равны нулю. Следовательно, $x=3$ и $x=5$ являются решениями уравнения.

3. Случай 2: Основания степеней равны.
Равенство будет верным, если при одинаковых ненулевых показателях равны и основания.
$x^2 + 1 = 2x + 9$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_3 = 4$ и $x_4 = -2$.
Корень $x = 4$ принадлежит ОДЗ ($4 \in [3, 5]$), поэтому он является решением.
Корень $x = -2$ не принадлежит ОДЗ ($-2 \notin [3, 5]$), поэтому он не является решением.

Объединяя все найденные в обоих случаях корни, получаем итоговый набор решений.

Ответ: $3, 4, 5$.

б)

Данное уравнение имеет вид $f(x)^{h(x)} = g(x)^{h(x)}$. Решим его, рассмотрев все возможные случаи.

1. Область определения показателя степени.
Подкоренное выражение в показателе должно быть неотрицательным: $24x - 4x^2 - 35 \ge 0$
$4x^2 - 24x + 35 \le 0$
Найдем корни уравнения $4x^2 - 24x + 35 = 0$.
Дискриминант $D = (-24)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 35 = 576 - 560 = 16$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{24 \pm 4}{8}$.
$x_1 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5$.
$x_2 = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5$.
Ветви параболы $y = 4x^2 - 24x + 35$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке: $x \in [2.5, 3.5]$.

2. Случай 1: Показатель степени равен нулю.
$\sqrt{24x - 4x^2 - 35} = 0$
Это верно при $x=2.5$ и $x=3.5$. В этом случае равенство $a^0=b^0$ выполняется, если основания $a$ и $b$ не равны нулю.
При $x = 2.5$:
Основание $x^2 - 8 = (2.5)^2 - 8 = 6.25 - 8 = -1.75 \ne 0$.
Основание $7x - 20 = 7(2.5) - 20 = 17.5 - 20 = -2.5 \ne 0$.
Так как оба основания не равны нулю, $x=2.5$ является решением. При $x = 3.5$:
Основание $x^2 - 8 = (3.5)^2 - 8 = 12.25 - 8 = 4.25 \ne 0$.
Основание $7x - 20 = 7(3.5) - 20 = 24.5 - 20 = 4.5 \ne 0$.
Так как оба основания не равны нулю, $x=3.5$ является решением.

3. Случай 2: Основания степеней равны.
Равенство выполняется, если основания равны, а показатель степени определен.
$x^2 - 8 = 7x - 20$
$x^2 - 7x + 12 = 0$
По теореме Виета, корни $x_3 = 3$ и $x_4 = 4$.
Корень $x = 3$ принадлежит области определения показателя ($3 \in [2.5, 3.5]$). При $x=3$ оба основания положительны ($3^2-8=1>0$ и $7(3)-20=1>0$), поэтому $x=3$ является решением.
Корень $x = 4$ не принадлежит области определения показателя ($4 \notin [2.5, 3.5]$), поэтому не является решением.

4. Случай 3: Основания степеней противоположны.
Равенство $a^c = b^c$ может выполняться, если $a = -b$, а показатель $c$ — четное целое число.
$x^2 - 8 = -(7x - 20) \implies x^2 + 7x - 28 = 0$.
Корни этого уравнения $x = \frac{-7 \pm \sqrt{161}}{2}$.
Один из корней, $x = \frac{-7 + \sqrt{161}}{2}$, принадлежит отрезку $[2.5, 3.5]$. Однако при подстановке этого значения в выражение для показателя $\sqrt{24x - 4x^2 - 35}$ не получается четное целое число. Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $2.5, 3, 3.5$.