Номер 10.38, страница 280 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.38, страница 280.

Условие.

10.38 a) $\log_2 x = 2 \log_2 (x - 3) + 2;$

Б) $\log_5 x = 2 \log_5 (6 - x) + 1;$

В) $\log_3 (x - 2) - 3 \log_{x - 2} 9 = 1;$

Г) $\log_2 (x - 3) + 3 \log_{x - 3} 4 = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $log_2 x = 2log_2(x - 3) + 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases} \implies x > 3$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (3, +\infty)$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Представим число $2$ как логарифм по основанию $2$: $2 = log_2 2^2 = log_2 4$.
$log_2 x = 2log_2(x - 3) + log_2 4$
Используем свойство $n \cdot log_a b = log_a b^n$:
$log_2 x = log_2(x - 3)^2 + log_2 4$
Используем свойство $log_a b + log_a c = log_a(bc)$:
$log_2 x = log_2(4 \cdot (x - 3)^2)$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x = 4(x - 3)^2$
$x = 4(x^2 - 6x + 9)$
$x = 4x^2 - 24x + 36$
$4x^2 - 25x + 36 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-25)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 36 = 625 - 576 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{25 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$
$x_2 = \frac{25 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{18}{8} = \frac{9}{2} = 4.5$

Оба корня $x_1 = 4$ и $x_2 = 4.5$ принадлежат ОДЗ ($x > 3$).

Ответ: $4; 4.5$.

б) $log_5 x = 2log_5(6 - x) + 1$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0 \\ 6 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 6 \end{cases} \implies 0 < x < 6$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 6)$.

Преобразуем уравнение. Представим $1$ как $log_5 5$.
$log_5 x = 2log_5(6 - x) + log_5 5$
$log_5 x = log_5(6 - x)^2 + log_5 5$
$log_5 x = log_5(5 \cdot (6 - x)^2)$
Приравниваем аргументы:
$x = 5(6 - x)^2$
$x = 5(36 - 12x + x^2)$
$x = 180 - 60x + 5x^2$
$5x^2 - 61x + 180 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-61)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 180 = 3721 - 3600 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{61 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{72}{10} = 7.2$
$x_2 = \frac{61 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($0 < x < 6$).
$x_1 = 7.2$ не принадлежит ОДЗ.
$x_2 = 5$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $5$.

в) $log_3(x - 2) - 3log_{x-2} 9 = 1$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице.
$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 2 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x \neq 3 \end{cases}$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (2, 3) \cup (3, +\infty)$.

Используем формулу перехода к новому основанию: $log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$.
$log_{x-2} 9 = \frac{log_3 9}{log_3(x-2)} = \frac{2}{log_3(x-2)}$
Подставим в исходное уравнение:
$log_3(x - 2) - 3 \cdot \frac{2}{log_3(x-2)} = 1$
$log_3(x - 2) - \frac{6}{log_3(x-2)} = 1$
Сделаем замену. Пусть $t = log_3(x - 2)$. Заметим, что $t \neq 0$, так как $x \neq 3$.
$t - \frac{6}{t} = 1$
$t^2 - 6 = t$
$t^2 - t - 6 = 0$
По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.
Вернемся к замене:
1) $log_3(x - 2) = 3 \implies x - 2 = 3^3 \implies x - 2 = 27 \implies x_1 = 29$.
2) $log_3(x - 2) = -2 \implies x - 2 = 3^{-2} \implies x - 2 = \frac{1}{9} \implies x_2 = 2 + \frac{1}{9} = \frac{19}{9}$.
Оба корня $x_1 = 29$ и $x_2 = \frac{19}{9}$ (т.к. $2 < \frac{19}{9} < 3$) принадлежат ОДЗ.

Ответ: $29; \frac{19}{9}$.

г) $log_2(x - 3) + 3log_{x-3} 4 = 5$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ x - 3 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x \neq 4 \end{cases}$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (3, 4) \cup (4, +\infty)$.

Используем формулу перехода к новому основанию:
$log_{x-3} 4 = \frac{log_2 4}{log_2(x-3)} = \frac{2}{log_2(x-3)}$
Подставим в уравнение:
$log_2(x - 3) + 3 \cdot \frac{2}{log_2(x-3)} = 5$
$log_2(x - 3) + \frac{6}{log_2(x-3)} = 5$
Сделаем замену. Пусть $t = log_2(x - 3)$. Заметим, что $t \neq 0$, так как $x \neq 4$.
$t + \frac{6}{t} = 5$
$t^2 + 6 = 5t$
$t^2 - 5t + 6 = 0$
По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.
Вернемся к замене:
1) $log_2(x - 3) = 2 \implies x - 3 = 2^2 \implies x - 3 = 4 \implies x_1 = 7$.
2) $log_2(x - 3) = 3 \implies x - 3 = 2^3 \implies x - 3 = 8 \implies x_2 = 11$.
Оба корня $x_1 = 7$ и $x_2 = 11$ принадлежат ОДЗ.

Ответ: $7; 11$.