Номер 10.34, страница 280 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.34, страница 280.

Условие.

10.34 a) $log_2(x + 2) + log_2(3x + 2) = log_2(5x + 22);$

б) $log_3(x - 5) + log_3(x + 1) = log_3(3x + 3);$

в) $log_5(x - 6) + log_5(2x + 11) = log_5(3x + 4);$

г) $log_4(2x + 6) + log_4(3x - 14) = log_4(3x + 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано уравнение: $\log_2(x + 2) + \log_2(3x + 2) = \log_2(5x + 22)$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго больше нуля:

$ \begin{cases} x + 2 > 0 \\ 3x + 2 > 0 \\ 5x + 22 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x > -2/3 \\ x > -22/5 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > -2/3$.

2. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)$ для левой части уравнения:

$\log_2((x + 2)(3x + 2)) = \log_2(5x + 22)$

3. Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$(x + 2)(3x + 2) = 5x + 22$

$3x^2 + 2x + 6x + 4 = 5x + 22$

$3x^2 + 8x + 4 = 5x + 22$

$3x^2 + 3x - 18 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + x - 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$.

4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > -2/3$):

$x_1 = 2$: $2 > -2/3$, корень подходит.

$x_2 = -3$: $-3 < -2/3$, корень не подходит (посторонний).

Ответ: 2.

б)

Дано уравнение: $\log_3(x - 5) + \log_3(x + 1) = \log_3(3x + 3)$.

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \\ 3x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ x > -1 \\ x > -1 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 5$.

2. Преобразуем уравнение:

$\log_3((x - 5)(x + 1)) = \log_3(3x + 3)$

3. Приравниваем аргументы:

$(x - 5)(x + 1) = 3x + 3$

$x^2 + x - 5x - 5 = 3x + 3$

$x^2 - 4x - 5 = 3x + 3$

$x^2 - 7x - 8 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 8$, $x_2 = -1$.

4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 5$):

$x_1 = 8$: $8 > 5$, корень подходит.

$x_2 = -1$: $-1 < 5$, корень не подходит.

Ответ: 8.

в)

Дано уравнение: $\log_5(x - 6) + \log_5(2x + 11) = \log_5(3x + 4)$.

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x - 6 > 0 \\ 2x + 11 > 0 \\ 3x + 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 6 \\ x > -5.5 \\ x > -4/3 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 6$.

2. Преобразуем уравнение:

$\log_5((x - 6)(2x + 11)) = \log_5(3x + 4)$

3. Приравниваем аргументы:

$(x - 6)(2x + 11) = 3x + 4$

$2x^2 + 11x - 12x - 66 = 3x + 4$

$2x^2 - x - 66 = 3x + 4$

$2x^2 - 4x - 70 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 2x - 35 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -5$.

4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 6$):

$x_1 = 7$: $7 > 6$, корень подходит.

$x_2 = -5$: $-5 < 6$, корень не подходит.

Ответ: 7.

г)

Дано уравнение: $\log_4(2x + 6) + \log_4(3x - 14) = \log_4(3x + 1)$.

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 2x + 6 > 0 \\ 3x - 14 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > 14/3 \\ x > -1/3 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 14/3$.

2. Преобразуем уравнение:

$\log_4((2x + 6)(3x - 14)) = \log_4(3x + 1)$

3. Приравниваем аргументы:

$(2x + 6)(3x - 14) = 3x + 1$

$6x^2 - 28x + 18x - 84 = 3x + 1$

$6x^2 - 10x - 84 = 3x + 1$

$6x^2 - 13x - 85 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-85) = 169 + 2040 = 2209 = 47^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 47}{12}$

$x_1 = \frac{13 + 47}{12} = \frac{60}{12} = 5$

$x_2 = \frac{13 - 47}{12} = \frac{-34}{12} = -\frac{17}{6}$

4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 14/3 \approx 4.67$):

$x_1 = 5$: $5 > 14/3$, корень подходит.

$x_2 = -17/6 \approx -2.83$: $-17/6 < 14/3$, корень не подходит.

Ответ: 5.