Номер 10.34, страница 280 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.34, страница 280.
№10.34 (с. 280)
Условие. №10.34 (с. 280)
скриншот условия

10.34 a) $log_2(x + 2) + log_2(3x + 2) = log_2(5x + 22);$
б) $log_3(x - 5) + log_3(x + 1) = log_3(3x + 3);$
в) $log_5(x - 6) + log_5(2x + 11) = log_5(3x + 4);$
г) $log_4(2x + 6) + log_4(3x - 14) = log_4(3x + 1).$
Решение 1. №10.34 (с. 280)




Решение 2. №10.34 (с. 280)


Решение 4. №10.34 (с. 280)
а)
Дано уравнение: $\log_2(x + 2) + \log_2(3x + 2) = \log_2(5x + 22)$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго больше нуля:
$ \begin{cases} x + 2 > 0 \\ 3x + 2 > 0 \\ 5x + 22 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x > -2/3 \\ x > -22/5 \end{cases} $
Пересечением этих условий является $x > -2/3$.
2. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)$ для левой части уравнения:
$\log_2((x + 2)(3x + 2)) = \log_2(5x + 22)$
3. Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$(x + 2)(3x + 2) = 5x + 22$
$3x^2 + 2x + 6x + 4 = 5x + 22$
$3x^2 + 8x + 4 = 5x + 22$
$3x^2 + 3x - 18 = 0$
Разделим уравнение на 3:
$x^2 + x - 6 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$.
4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > -2/3$):
$x_1 = 2$: $2 > -2/3$, корень подходит.
$x_2 = -3$: $-3 < -2/3$, корень не подходит (посторонний).
Ответ: 2.
б)
Дано уравнение: $\log_3(x - 5) + \log_3(x + 1) = \log_3(3x + 3)$.
1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \\ 3x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ x > -1 \\ x > -1 \end{cases} $
Пересечением этих условий является $x > 5$.
2. Преобразуем уравнение:
$\log_3((x - 5)(x + 1)) = \log_3(3x + 3)$
3. Приравниваем аргументы:
$(x - 5)(x + 1) = 3x + 3$
$x^2 + x - 5x - 5 = 3x + 3$
$x^2 - 4x - 5 = 3x + 3$
$x^2 - 7x - 8 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 8$, $x_2 = -1$.
4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 5$):
$x_1 = 8$: $8 > 5$, корень подходит.
$x_2 = -1$: $-1 < 5$, корень не подходит.
Ответ: 8.
в)
Дано уравнение: $\log_5(x - 6) + \log_5(2x + 11) = \log_5(3x + 4)$.
1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 6 > 0 \\ 2x + 11 > 0 \\ 3x + 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 6 \\ x > -5.5 \\ x > -4/3 \end{cases} $
Пересечением этих условий является $x > 6$.
2. Преобразуем уравнение:
$\log_5((x - 6)(2x + 11)) = \log_5(3x + 4)$
3. Приравниваем аргументы:
$(x - 6)(2x + 11) = 3x + 4$
$2x^2 + 11x - 12x - 66 = 3x + 4$
$2x^2 - x - 66 = 3x + 4$
$2x^2 - 4x - 70 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 - 2x - 35 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -5$.
4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 6$):
$x_1 = 7$: $7 > 6$, корень подходит.
$x_2 = -5$: $-5 < 6$, корень не подходит.
Ответ: 7.
г)
Дано уравнение: $\log_4(2x + 6) + \log_4(3x - 14) = \log_4(3x + 1)$.
1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 2x + 6 > 0 \\ 3x - 14 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -3 \\ x > 14/3 \\ x > -1/3 \end{cases} $
Пересечением этих условий является $x > 14/3$.
2. Преобразуем уравнение:
$\log_4((2x + 6)(3x - 14)) = \log_4(3x + 1)$
3. Приравниваем аргументы:
$(2x + 6)(3x - 14) = 3x + 1$
$6x^2 - 28x + 18x - 84 = 3x + 1$
$6x^2 - 10x - 84 = 3x + 1$
$6x^2 - 13x - 85 = 0$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-85) = 169 + 2040 = 2209 = 47^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 47}{12}$
$x_1 = \frac{13 + 47}{12} = \frac{60}{12} = 5$
$x_2 = \frac{13 - 47}{12} = \frac{-34}{12} = -\frac{17}{6}$
4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 14/3 \approx 4.67$):
$x_1 = 5$: $5 > 14/3$, корень подходит.
$x_2 = -17/6 \approx -2.83$: $-17/6 < 14/3$, корень не подходит.
Ответ: 5.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.34 расположенного на странице 280 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.34 (с. 280), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.