Номер 10.32, страница 280 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.32, страница 280.

Условие.

10.32 а) $ \sqrt{2x+1} = 2\sqrt{x-1} + 1; $

б) $ 2\sqrt{3x+7} = 3\sqrt{2x+2} + 2; $

в) $ \sqrt{6x-3} - 2\sqrt{x} = 1; $

г) $ \sqrt{2x-1} - \sqrt{x} = 1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2x+1} = 2\sqrt{x-1} + 1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$2x+1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -0.5$
$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.
Для $x \ge 1$ обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x+1})^2 = (2\sqrt{x-1} + 1)^2$
$2x+1 = (2\sqrt{x-1})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2$
$2x+1 = 4(x-1) + 4\sqrt{x-1} + 1$
$2x+1 = 4x - 4 + 4\sqrt{x-1} + 1$
$2x+1 = 4x - 3 + 4\sqrt{x-1}$
Уединим оставшийся радикал:
$1 + 3 - 4x + 2x = 4\sqrt{x-1}$
$4 - 2x = 4\sqrt{x-1}$
Разделим обе части на 2:
$2 - x = 2\sqrt{x-1}$
Для того чтобы можно было снова возвести в квадрат, левая часть должна быть неотрицательной, так как правая часть неотрицательна:
$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.
С учетом ОДЗ ($x \ge 1$), получаем ограничение для корней: $1 \le x \le 2$.
Возведем в квадрат уравнение $2 - x = 2\sqrt{x-1}$:
$(2-x)^2 = (2\sqrt{x-1})^2$
$4 - 4x + x^2 = 4(x-1)$
$x^2 - 4x + 4 = 4x - 4$
$x^2 - 8x + 8 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 64 - 32 = 32$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}$
Получили два корня: $x_1 = 4 + 2\sqrt{2}$ и $x_2 = 4 - 2\sqrt{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $1 \le x \le 2$:
$x_1 = 4 + 2\sqrt{2} \approx 4 + 2 \cdot 1.41 = 6.82$. Этот корень не входит в промежуток $[1, 2]$, значит, он посторонний.
$x_2 = 4 - 2\sqrt{2} \approx 4 - 2 \cdot 1.41 = 1.18$. Этот корень входит в промежуток $[1, 2]$.
Ответ: $4 - 2\sqrt{2}$

б) Дано иррациональное уравнение $2\sqrt{3x+7} = 3\sqrt{2x+2} + 2$.
Найдем ОДЗ:
$3x+7 \ge 0 \implies 3x \ge -7 \implies x \ge -7/3$
$2x+2 \ge 0 \implies 2x \ge -2 \implies x \ge -1$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge -1$.
Для $x \ge -1$ обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:
$(2\sqrt{3x+7})^2 = (3\sqrt{2x+2} + 2)^2$
$4(3x+7) = 9(2x+2) + 2 \cdot 3\sqrt{2x+2} \cdot 2 + 4$
$12x+28 = 18x+18 + 12\sqrt{2x+2} + 4$
$12x+28 = 18x+22 + 12\sqrt{2x+2}$
Уединим радикал:
$28-22-18x+12x = 12\sqrt{2x+2}$
$6-6x = 12\sqrt{2x+2}$
Разделим обе части на 6:
$1 - x = 2\sqrt{2x+2}$
Потребуем, чтобы левая часть была неотрицательной: $1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.
С учетом ОДЗ ($x \ge -1$), получаем ограничение для корней: $-1 \le x \le 1$.
Возведем в квадрат уравнение $1 - x = 2\sqrt{2x+2}$:
$(1-x)^2 = (2\sqrt{2x+2})^2$
$1 - 2x + x^2 = 4(2x+2)$
$x^2 - 2x + 1 = 8x + 8$
$x^2 - 10x - 7 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 100 + 28 = 128$
$x = \frac{10 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{10 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 5 \pm 4\sqrt{2}$
Получили два корня: $x_1 = 5 + 4\sqrt{2}$ и $x_2 = 5 - 4\sqrt{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $-1 \le x \le 1$:
$x_1 = 5 + 4\sqrt{2} \approx 5 + 4 \cdot 1.41 = 10.64$. Этот корень не входит в промежуток $[-1, 1]$.
$x_2 = 5 - 4\sqrt{2} \approx 5 - 4 \cdot 1.41 = -0.64$. Этот корень входит в промежуток $[-1, 1]$.
Ответ: $5 - 4\sqrt{2}$

в) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{6x-3} - 2\sqrt{x} = 1$.
Найдем ОДЗ:
$6x-3 \ge 0 \implies 6x \ge 3 \implies x \ge 0.5$
$x \ge 0$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0.5$.
Перенесем $-2\sqrt{x}$ в правую часть: $\sqrt{6x-3} = 1 + 2\sqrt{x}$.
При $x \ge 0.5$ обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{6x-3})^2 = (1 + 2\sqrt{x})^2$
$6x-3 = 1 + 4\sqrt{x} + 4x$
Уединим радикал:
$6x - 4x - 3 - 1 = 4\sqrt{x}$
$2x - 4 = 4\sqrt{x}$
$x - 2 = 2\sqrt{x}$
Потребуем, чтобы левая часть была неотрицательной: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
С учетом ОДЗ ($x \ge 0.5$), получаем новое ограничение для корней: $x \ge 2$.
Возведем в квадрат уравнение $x - 2 = 2\sqrt{x}$:
$(x-2)^2 = (2\sqrt{x})^2$
$x^2 - 4x + 4 = 4x$
$x^2 - 8x + 4 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$
$x = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$
Получили два корня: $x_1 = 4 + 2\sqrt{3}$ и $x_2 = 4 - 2\sqrt{3}$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $x \ge 2$:
$x_1 = 4 + 2\sqrt{3} \approx 4 + 2 \cdot 1.73 = 7.46$. Этот корень больше 2, он подходит.
$x_2 = 4 - 2\sqrt{3} \approx 4 - 2 \cdot 1.73 = 0.54$. Этот корень меньше 2, он не подходит.
Ответ: $4 + 2\sqrt{3}$

г) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2x-1} - \sqrt{x} = 1$.
Найдем ОДЗ:
$2x-1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge 0.5$
$x \ge 0$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0.5$.
Перенесем $-\sqrt{x}$ в правую часть: $\sqrt{2x-1} = 1 + \sqrt{x}$.
При $x \ge 0.5$ обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{2x-1})^2 = (1 + \sqrt{x})^2$
$2x-1 = 1 + 2\sqrt{x} + x$
Уединим радикал:
$2x - x - 1 - 1 = 2\sqrt{x}$
$x - 2 = 2\sqrt{x}$
Потребуем, чтобы левая часть была неотрицательной: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
С учетом ОДЗ ($x \ge 0.5$), получаем новое ограничение для корней: $x \ge 2$.
Возведем в квадрат уравнение $x - 2 = 2\sqrt{x}$:
$(x-2)^2 = (2\sqrt{x})^2$
$x^2 - 4x + 4 = 4x$
$x^2 - 8x + 4 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$
$x = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$
Получили два корня: $x_1 = 4 + 2\sqrt{3}$ и $x_2 = 4 - 2\sqrt{3}$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $x \ge 2$:
$x_1 = 4 + 2\sqrt{3} \approx 4 + 3.46 = 7.46$. Этот корень больше 2, он подходит.
$x_2 = 4 - 2\sqrt{3} \approx 4 - 3.46 = 0.54$. Этот корень меньше 2, он не подходит.
Ответ: $4 + 2\sqrt{3}$