Номер 10.33, страница 280 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.33, страница 280.

Условие.

10.33 a) $\sqrt{\frac{x - 3}{x + 2}} + \sqrt{\frac{x + 2}{x - 3}} = \frac{7}{\sqrt{(x + 2)(x - 3)}};$

б) $\sqrt{\frac{x - 5}{x + 1}} + \sqrt{\frac{x + 1}{x - 5}} = \frac{10}{\sqrt{(x + 1)(x - 5)}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $ \sqrt{\frac{x - 3}{x + 2}} + \sqrt{\frac{x + 2}{x - 3}} = \frac{7}{\sqrt{(x + 2)(x - 3)}} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны равняться нулю.

$\begin{cases} \frac{x-3}{x+2} \ge 0 \\ \frac{x+2}{x-3} \ge 0 \\ (x+2)(x-3) > 0 \end{cases}$

Решением этой системы неравенств является объединение интервалов $x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)$. В этих интервалах выражения $x-3$ и $x+2$ имеют одинаковые знаки, поэтому их частное и произведение положительны.

2. Умножим обе части уравнения на $\sqrt{(x+2)(x-3)}$. Так как в ОДЗ это выражение всегда положительно, это является равносильным преобразованием.

$\sqrt{\frac{x-3}{x+2}} \cdot \sqrt{(x+2)(x-3)} + \sqrt{\frac{x+2}{x-3}} \cdot \sqrt{(x+2)(x-3)} = 7$

$\sqrt{\frac{(x-3)(x+2)(x-3)}{x+2}} + \sqrt{\frac{(x+2)(x+2)(x-3)}{x-3}} = 7$

$\sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{(x+2)^2} = 7$

$|x-3| + |x+2| = 7$

3. Рассмотрим два случая в соответствии с ОДЗ.

Случай 1: $x > 3$.

В этом случае $x-3 > 0$ и $x+2 > 0$. Модули раскрываются со знаком плюс:

$(x-3) + (x+2) = 7$

$2x - 1 = 7$

$2x = 8$

$x = 4$

Корень $x=4$ удовлетворяет условию $x>3$.

Случай 2: $x < -2$.

В этом случае $x-3 < 0$ и $x+2 < 0$. Модули раскрываются со знаком минус:

$-(x-3) - (x+2) = 7$

$-x + 3 - x - 2 = 7$

$-2x + 1 = 7$

$-2x = 6$

$x = -3$

Корень $x=-3$ удовлетворяет условию $x<-2$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 4$.

б) $ \sqrt{\frac{x - 5}{x + 1}} + \sqrt{\frac{x + 1}{x - 5}} = \frac{10}{\sqrt{(x + 1)(x - 5)}} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$\begin{cases} \frac{x-5}{x+1} \ge 0 \\ \frac{x+1}{x-5} \ge 0 \\ (x+1)(x-5) > 0 \end{cases}$

Решением системы является $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$.

2. Умножим обе части уравнения на $\sqrt{(x+1)(x-5)}$, что является равносильным преобразованием в ОДЗ.

$\sqrt{\frac{x-5}{x+1}} \cdot \sqrt{(x+1)(x-5)} + \sqrt{\frac{x+1}{x-5}} \cdot \sqrt{(x+1)(x-5)} = 10$

$\sqrt{(x-5)^2} + \sqrt{(x+1)^2} = 10$

$|x-5| + |x+1| = 10$

3. Рассмотрим два случая в соответствии с ОДЗ.

Случай 1: $x > 5$.

В этом случае $x-5 > 0$ и $x+1 > 0$. Раскрываем модули:

$(x-5) + (x+1) = 10$

$2x - 4 = 10$

$2x = 14$

$x = 7$

Корень $x=7$ удовлетворяет условию $x>5$.

Случай 2: $x < -1$.

В этом случае $x-5 < 0$ и $x+1 < 0$. Раскрываем модули с противоположными знаками:

$-(x-5) - (x+1) = 10$

$-x + 5 - x - 1 = 10$

$-2x + 4 = 10$

$-2x = 6$

$x = -3$

Корень $x=-3$ удовлетворяет условию $x<-1$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 7$.