Номер 10.26, страница 277 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.26, страница 277.

Условие.

10.26* a) $\frac{1}{\sqrt{x - 2}} = (x - 2)^{\cos x};$

Б) $(x^2 + 2)^{\sin x} = (x^2 + 2)^{\cos x};$

В) $x^{\log_{\sqrt{x}} 2x} = 4;$

Г) $x^2 - \lg^2 x - \lg x^2 - \frac{1}{x} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\frac{1}{\sqrt{x-2}} = (x-2)^{\cos x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля: $x-2 > 0 \implies x > 2$. Основание степени $(x-2)$ также должно быть положительным, что уже учтено в условии выше.

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя свойства степеней: $\frac{1}{\sqrt{x-2}} = \frac{1}{(x-2)^{1/2}} = (x-2)^{-1/2}$.

Теперь уравнение принимает вид: $(x-2)^{-1/2} = (x-2)^{\cos x}$.

Так как основания степеней равны и больше 0 (согласно ОДЗ $x>2$, значит $x-2 > 0$), мы можем приравнять показатели степеней: $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Решим это тригонометрическое уравнение. Общее решение имеет вид: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем две серии решений: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо отобрать корни, удовлетворяющие условию ОДЗ: $x > 2$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$, тогда $\frac{2\pi}{3} \approx 2.09$.

Рассмотрим первую серию $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: При $k=0$, $x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09$. Это значение больше 2, значит, оно является решением. При $k > 0$ (например, $k=1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} > 2$), все значения будут больше 2. При $k < 0$ (например, $k=-1$, $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} < 2$), значения не подходят. Следовательно, из этой серии подходят корни при $k \ge 0$, $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим вторую серию $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: При $k=0$, $x = -\frac{2\pi}{3} < 2$, не подходит. При $k=1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4.18 > 2$. Это решение. При $k > 1$, все значения будут еще больше и, следовательно, подходят. При $k < 1$, значения не подходят. Следовательно, из этой серии подходят корни при $k \ge 1$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$; $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$.

---

б) $(x^2+2)^{\sin x} = (x^2+2)^{\cos x}$

Уравнение вида $a^{f(x)} = a^{g(x)}$. Основание степени $a = x^2+2$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+2 \ge 2$. Основание всегда положительно, поэтому ОДЗ для $x$ - все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Решения уравнения $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ существуют в двух случаях: 1. Основание $a=1$. 2. Показатели степеней равны $f(x)=g(x)$.

Рассмотрим первый случай: $x^2+2 = 1 \implies x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим второй случай: $\sin x = \cos x$.

Решим это тригонометрическое уравнение. Заметим, что $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и равенство не выполняется. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$: $\frac{\sin x}{\cos x} = 1$ $\tan x = 1$.

Общее решение этого уравнения: $x = \arctan(1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Все найденные корни принадлежат ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

---

в) $x^{\log_{\sqrt{x}} 2x} = 4$

Определим ОДЗ. 1. Основание степени $x > 0$. 2. Аргумент логарифма $2x > 0 \implies x > 0$. 3. Основание логарифма $\sqrt{x} > 0 \implies x > 0$. 4. Основание логарифма $\sqrt{x} \neq 1 \implies x \neq 1$. Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Преобразуем показатель степени, используя тождество $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$: $x^{\log_{\sqrt{x}} 2x} = (2x)^{\log_{\sqrt{x}} x}$.

Теперь вычислим значение нового показателя степени $\log_{\sqrt{x}} x$. Пусть $\log_{\sqrt{x}} x = y$. По определению логарифма, $(\sqrt{x})^y = x$. $(x^{1/2})^y = x^1 \implies x^{y/2} = x^1$. Отсюда $y/2 = 1 \implies y=2$. Значит, $\log_{\sqrt{x}} x = 2$.

Подставим найденное значение обратно в уравнение: $(2x)^2 = 4$ $4x^2 = 4$ $x^2 = 1$ $x = 1$ или $x = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$). $x=1$ не удовлетворяет условию $x \neq 1$. $x=-1$ не удовлетворяет условию $x > 0$. Таким образом, ни один из полученных корней не входит в ОДЗ.

Ответ: нет решений.

---

г) $x^2 - \lg^2 x - \lg x^2 - \frac{1}{x} = 0$

Определим ОДЗ. 1. Для $\lg x$ и $\lg^2 x$ требуется $x > 0$. 2. Для $\lg x^2$ требуется $x^2 > 0 \implies x \neq 0$. 3. Для $\frac{1}{x}$ требуется $x \neq 0$. Итоговое ОДЗ: $x > 0$.

Упростим уравнение, используя свойство логарифма $\lg x^2 = 2\lg x$ (это преобразование корректно, так как по ОДЗ $x>0$): $x^2 - \lg^2 x - 2\lg x - \frac{1}{x} = 0$.

Это трансцендентное уравнение, которое сложно решить аналитически. Попробуем найти корень подбором. Проверим простые значения, например $x=1$: $1^2 - \lg^2 1 - 2\lg 1 - \frac{1}{1} = 1 - 0^2 - 2 \cdot 0 - 1 = 1 - 0 - 0 - 1 = 0$. Равенство верное, значит $x=1$ является корнем уравнения.

Докажем, что других корней нет. Перепишем уравнение в виде: $x^2 - \frac{1}{x} = \lg^2 x + 2\lg x$. Рассмотрим две функции: $f(x) = x^2 - \frac{1}{x}$ и $g(x) = \lg^2 x + 2\lg x$. Мы ищем точки их пересечения.

Проанализируем поведение функции $f(x) = x^2 - \frac{1}{x}$ на ОДЗ ($x>0$). Ее производная $f'(x) = 2x + \frac{1}{x^2}$. При $x>0$ оба слагаемых $2x$ и $\frac{1}{x^2}$ положительны, следовательно, $f'(x) > 0$. Это значит, что функция $f(x)$ строго возрастает на всей области определения.

Проанализируем поведение функции $g(x) = \lg^2 x + 2\lg x$. Ее производная $g'(x) = 2(\lg x) \cdot \frac{1}{x \ln 10} + \frac{2}{x \ln 10} = \frac{2(\lg x + 1)}{x \ln 10}$. При $x>0$ знаменатель $x \ln 10$ положителен. Знак производной зависит от выражения $(\lg x + 1)$: - $g'(x) < 0$ при $\lg x < -1 \implies 0 < x < 0.1$ (функция убывает). - $g'(x) > 0$ при $\lg x > -1 \implies x > 0.1$ (функция возрастает). - $g'(x) = 0$ при $x = 0.1$ (точка минимума).

Сравним поведение функций: - На интервале $(0, 0.1)$ функция $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает. При $x \to 0^+$, $f(x) \to -\infty$, а $g(x) \to +\infty$. Так как на этом интервале $f(x) < 0$, а $g(x) = \lg x(\lg x+2) > 0$, пересечений нет. - На интервале $[0.1, \infty)$ обе функции возрастают. - Мы уже нашли, что в точке $x=1$ их значения совпадают: $f(1)=0$, $g(1)=0$. - Сравним "скорость" роста функций при $x \ge 1$. $f(x)$ растет как степенная функция $x^2$, а $g(x)$ — как логарифмическая $\lg^2 x$. Степенная функция растет значительно быстрее логарифмической. Поскольку в точке $x=1$ функции встретились, а затем $f(x)$ начала расти быстрее, чем $g(x)$, новых пересечений при $x>1$ не будет. - На интервале $(0.1, 1)$ обе функции возрастают к общей точке $(1, 0)$. В точке $x=0.1$ имеем $f(0.1)=0.01-10=-9.99$, а $g(0.1)=(-1)^2+2(-1)=-1$. Поскольку $f(0.1) < g(0.1)$, и $f(x)$ растет быстрее $g(x)$ на этом интервале, они пересекутся только в конечной точке $x=1$.

Таким образом, $x=1$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $x = 1$.