Номер 10.19, страница 273 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.19, страница 273.
№10.19 (с. 273)
Условие. №10.19 (с. 273)
скриншот условия

10.19* a) $\frac{2 \sin x}{\sqrt{-x^2 + 4x - 3}} = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 4x - 3}}$
б) $\frac{2 \sin x}{\sqrt{3 - 2x - x^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3 - 2x - x^2}}$
в) $\frac{2 \cos x}{\sqrt{\pi^2 - 4x^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi^2 - 4x^2}}$
г) $\frac{2 \cos x}{\sqrt{\pi^2 - x^2}} = \frac{-1}{\sqrt{\pi^2 - x^2}}$
Решение 1. №10.19 (с. 273)




Решение 2. №10.19 (с. 273)


Решение 3. №10.19 (с. 273)

Решение 4. №10.19 (с. 273)
а)
Исходное уравнение: $ \frac{2 \sin x}{\sqrt{-x^2 + 4x - 3}} = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 4x - 3}} $.
Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$ -x^2 + 4x - 3 > 0 $
Умножим неравенство на -1 и сменим знак:
$ x^2 - 4x + 3 < 0 $
Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 - 4x + 3 = 0 $. По теореме Виета корни равны $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 3 $.
Парабола $ y = x^2 - 4x + 3 $ имеет ветви, направленные вверх, следовательно, неравенство выполняется между корнями.
ОДЗ: $ x \in (1, 3) $.
Так как знаменатели в обеих частях уравнения одинаковы и не равны нулю в ОДЗ, мы можем приравнять числители:
$ 2 \sin x = 1 $
$ \sin x = \frac{1}{2} $
Общее решение этого тригонометрического уравнения:
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.
Теперь выберем корни, принадлежащие интервалу $ (1, 3) $. Примем $ \pi \approx 3.14 $.
При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.52 $. Этот корень не входит в ОДЗ.
При $ n = 1 $: $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \approx \frac{5 \cdot 3.14}{6} \approx 2.62 $. Этот корень входит в ОДЗ.
При $ n = 2 $: $ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} $. Этот корень очевидно больше 3 и не входит в ОДЗ.
Единственный корень, удовлетворяющий ОДЗ, это $ x = \frac{5\pi}{6} $.
Ответ: $ x = \frac{5\pi}{6} $.
б)
Исходное уравнение: $ \frac{2 \sin x}{\sqrt{3 - 2x - x^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3 - 2x - x^2}} $.
Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть строго положительным:
$ 3 - 2x - x^2 > 0 $
$ x^2 + 2x - 3 < 0 $
Корни уравнения $ x^2 + 2x - 3 = 0 $ равны $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = 1 $.
Парабола $ y = x^2 + 2x - 3 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.
ОДЗ: $ x \in (-3, 1) $.
Приравниваем числители:
$ 2 \sin x = \sqrt{2} $
$ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Общее решение:
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.
Проверим, какие корни попадают в интервал $ (-3, 1) $. Используем $ \pi \approx 3.14 $.
При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14}{4} \approx 0.785 $. Этот корень входит в ОДЗ.
При $ n = 1 $: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \approx 2.355 $. Этот корень не входит в ОДЗ.
При $ n = -1 $: $ x = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4} \approx -3.925 $. Этот корень не входит в ОДЗ.
Единственный подходящий корень $ x = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} $.
в)
Исходное уравнение: $ \frac{2 \cos x}{\sqrt{\pi^2 - 4x^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi^2 - 4x^2}} $.
Найдем ОДЗ:
$ \pi^2 - 4x^2 > 0 $
$ 4x^2 < \pi^2 $
$ x^2 < \frac{\pi^2}{4} $
$ |x| < \frac{\pi}{2} $
ОДЗ: $ x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Приравниваем числители:
$ 2 \cos x = \sqrt{2} $
$ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Общее решение:
$ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.
Выберем корни из интервала $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
При $ n = 0 $:
$ x = \frac{\pi}{4} $. Входит в ОДЗ, так как $ -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} $.
$ x = -\frac{\pi}{4} $. Входит в ОДЗ, так как $ -\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} $.
При других целых значениях $ n $ корни выходят за пределы интервала.
Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{4} $.
г)
Исходное уравнение: $ \frac{2 \cos x}{\sqrt{\pi^2 - x^2}} = \frac{-1}{\sqrt{\pi^2 - x^2}} $.
Найдем ОДЗ:
$ \pi^2 - x^2 > 0 $
$ x^2 < \pi^2 $
$ |x| < \pi $
ОДЗ: $ x \in (-\pi, \pi) $.
Приравниваем числители:
$ 2 \cos x = -1 $
$ \cos x = -\frac{1}{2} $
Общее решение:
$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.
Выберем корни из интервала $ (-\pi, \pi) $.
При $ n = 0 $:
$ x = \frac{2\pi}{3} $. Входит в ОДЗ, так как $ -\pi < \frac{2\pi}{3} < \pi $.
$ x = -\frac{2\pi}{3} $. Входит в ОДЗ, так как $ -\pi < -\frac{2\pi}{3} < \pi $.
При других целых значениях $ n $ корни выходят за пределы интервала.
Ответ: $ x = \pm \frac{2\pi}{3} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.19 расположенного на странице 273 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.19 (с. 273), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.