Номер 10.19, страница 273 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.19, страница 273.

Условие.

10.19* a) $\frac{2 \sin x}{\sqrt{-x^2 + 4x - 3}} = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 4x - 3}}$

б) $\frac{2 \sin x}{\sqrt{3 - 2x - x^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3 - 2x - x^2}}$

в) $\frac{2 \cos x}{\sqrt{\pi^2 - 4x^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi^2 - 4x^2}}$

г) $\frac{2 \cos x}{\sqrt{\pi^2 - x^2}} = \frac{-1}{\sqrt{\pi^2 - x^2}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $ \frac{2 \sin x}{\sqrt{-x^2 + 4x - 3}} = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 4x - 3}} $.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$ -x^2 + 4x - 3 > 0 $
Умножим неравенство на -1 и сменим знак:
$ x^2 - 4x + 3 < 0 $
Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 - 4x + 3 = 0 $. По теореме Виета корни равны $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 3 $.
Парабола $ y = x^2 - 4x + 3 $ имеет ветви, направленные вверх, следовательно, неравенство выполняется между корнями.
ОДЗ: $ x \in (1, 3) $.

Так как знаменатели в обеих частях уравнения одинаковы и не равны нулю в ОДЗ, мы можем приравнять числители:
$ 2 \sin x = 1 $
$ \sin x = \frac{1}{2} $

Общее решение этого тригонометрического уравнения:
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Теперь выберем корни, принадлежащие интервалу $ (1, 3) $. Примем $ \pi \approx 3.14 $.
При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.52 $. Этот корень не входит в ОДЗ.
При $ n = 1 $: $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \approx \frac{5 \cdot 3.14}{6} \approx 2.62 $. Этот корень входит в ОДЗ.
При $ n = 2 $: $ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} $. Этот корень очевидно больше 3 и не входит в ОДЗ.
Единственный корень, удовлетворяющий ОДЗ, это $ x = \frac{5\pi}{6} $.

Ответ: $ x = \frac{5\pi}{6} $.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{2 \sin x}{\sqrt{3 - 2x - x^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3 - 2x - x^2}} $.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть строго положительным:
$ 3 - 2x - x^2 > 0 $
$ x^2 + 2x - 3 < 0 $
Корни уравнения $ x^2 + 2x - 3 = 0 $ равны $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = 1 $.
Парабола $ y = x^2 + 2x - 3 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.
ОДЗ: $ x \in (-3, 1) $.

Приравниваем числители:
$ 2 \sin x = \sqrt{2} $
$ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Общее решение:
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Проверим, какие корни попадают в интервал $ (-3, 1) $. Используем $ \pi \approx 3.14 $.
При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14}{4} \approx 0.785 $. Этот корень входит в ОДЗ.
При $ n = 1 $: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \approx 2.355 $. Этот корень не входит в ОДЗ.
При $ n = -1 $: $ x = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4} \approx -3.925 $. Этот корень не входит в ОДЗ.
Единственный подходящий корень $ x = \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} $.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{2 \cos x}{\sqrt{\pi^2 - 4x^2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi^2 - 4x^2}} $.

Найдем ОДЗ:
$ \pi^2 - 4x^2 > 0 $
$ 4x^2 < \pi^2 $
$ x^2 < \frac{\pi^2}{4} $
$ |x| < \frac{\pi}{2} $
ОДЗ: $ x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.

Приравниваем числители:
$ 2 \cos x = \sqrt{2} $
$ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Общее решение:
$ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Выберем корни из интервала $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
При $ n = 0 $:
$ x = \frac{\pi}{4} $. Входит в ОДЗ, так как $ -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} $.
$ x = -\frac{\pi}{4} $. Входит в ОДЗ, так как $ -\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} $.
При других целых значениях $ n $ корни выходят за пределы интервала.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{4} $.

г)

Исходное уравнение: $ \frac{2 \cos x}{\sqrt{\pi^2 - x^2}} = \frac{-1}{\sqrt{\pi^2 - x^2}} $.

Найдем ОДЗ:
$ \pi^2 - x^2 > 0 $
$ x^2 < \pi^2 $
$ |x| < \pi $
ОДЗ: $ x \in (-\pi, \pi) $.

Приравниваем числители:
$ 2 \cos x = -1 $
$ \cos x = -\frac{1}{2} $

Общее решение:
$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Выберем корни из интервала $ (-\pi, \pi) $.
При $ n = 0 $:
$ x = \frac{2\pi}{3} $. Входит в ОДЗ, так как $ -\pi < \frac{2\pi}{3} < \pi $.
$ x = -\frac{2\pi}{3} $. Входит в ОДЗ, так как $ -\pi < -\frac{2\pi}{3} < \pi $.
При других целых значениях $ n $ корни выходят за пределы интервала.

Ответ: $ x = \pm \frac{2\pi}{3} $.