Номер 10.15, страница 273 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.15, страница 273.

Условие.

10.15 a) $ \frac{2\sqrt{0.5-x}}{(x-4)(x+1)} = \frac{\sqrt{0.5-x}}{(x-2)(x+2)} $

б) $ \frac{4\sqrt{x-10}}{(x-4)(x+3)} = \frac{3\sqrt{x-10}}{(x-3)(x-2)} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\frac{2\sqrt{0.5-x}}{(x-4)(x+1)} = \frac{\sqrt{0.5-x}}{(x-2)(x+2)}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Подакоренное выражение должно быть неотрицательным: $0.5 - x \ge 0$, откуда $x \le 0.5$.
2. Знаменатели не должны равняться нулю:
$(x-4)(x+1) \ne 0 \implies x \ne 4, x \ne -1$.
$(x-2)(x+2) \ne 0 \implies x \ne 2, x \ne -2$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1) \cup (-1; 0.5]$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$\frac{2\sqrt{0.5-x}}{(x-4)(x+1)} - \frac{\sqrt{0.5-x}}{(x-2)(x+2)} = 0$

Вынесем общий множитель $\sqrt{0.5-x}$ за скобки:
$\sqrt{0.5-x} \left( \frac{2}{(x-4)(x+1)} - \frac{1}{(x-2)(x+2)} \right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Случай 1: $\sqrt{0.5-x} = 0$.
$0.5 - x = 0 \implies x = 0.5$.
Этот корень входит в ОДЗ.

Случай 2: $\frac{2}{(x-4)(x+1)} - \frac{1}{(x-2)(x+2)} = 0$.
$\frac{2}{(x-4)(x+1)} = \frac{1}{(x-2)(x+2)}$
$\frac{2}{x^2 - 3x - 4} = \frac{1}{x^2 - 4}$
Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:
$2(x^2 - 4) = 1(x^2 - 3x - 4)$
$2x^2 - 8 = x^2 - 3x - 4$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.
Проверим корни по ОДЗ:
$x_1 = -4$ удовлетворяет условию $x \le 0.5$ и не совпадает с $-1, -2$. Значит, это корень уравнения.
$x_2 = 1$ не удовлетворяет условию $x \le 0.5$, следовательно, это посторонний корень.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем корни исходного уравнения.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 0.5$.

---

б) $\frac{4\sqrt{x-10}}{(x-4)(x+3)} = \frac{3\sqrt{x-10}}{(x-3)(x-2)}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Подакоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 10 \ge 0$, откуда $x \ge 10$.
2. Знаменатели не должны равняться нулю:
$(x-4)(x+3) \ne 0 \implies x \ne 4, x \ne -3$.
$(x-3)(x-2) \ne 0 \implies x \ne 3, x \ne -2$.
Так как $x \ge 10$, все условия на знаменатели выполняются автоматически.
ОДЗ: $x \in [10; +\infty)$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и вынесем общий множитель $\sqrt{x-10}$ за скобки:
$\sqrt{x-10} \left( \frac{4}{(x-4)(x+3)} - \frac{3}{(x-3)(x-2)} \right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Случай 1: $\sqrt{x-10} = 0$.
$x - 10 = 0 \implies x = 10$.
Этот корень входит в ОДЗ.

Случай 2: $\frac{4}{(x-4)(x+3)} - \frac{3}{(x-3)(x-2)} = 0$.
$\frac{4}{x^2 - x - 12} = \frac{3}{x^2 - 5x + 6}$
Используя свойство пропорции, получаем:
$4(x^2 - 5x + 6) = 3(x^2 - x - 12)$
$4x^2 - 20x + 24 = 3x^2 - 3x - 36$
$x^2 - 17x + 60 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = 12$.
Проверим корни по ОДЗ:
$x_1 = 5$ не удовлетворяет условию $x \ge 10$, следовательно, это посторонний корень.
$x_2 = 12$ удовлетворяет условию $x \ge 10$. Значит, это корень уравнения.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем корни исходного уравнения.
Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 12$.