Номер 10.16, страница 273 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.16, страница 273.

Условие.

10.16 a) $(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1) = \frac{x^{16} + x^2 - 5x + 3}{x - 1}$;

б) $(x-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1) = \frac{x^{16} + x^2 + 5x + 3}{x + 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Рассматриваем уравнение $(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) = \frac{x^{16} + x^2 - 5x + 3}{x - 1}$.
Заметим, что в уравнении присутствует дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю, следовательно, $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
Упростим левую часть уравнения. Для этого умножим и разделим ее на $(x - 1)$.
$(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) = \frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)}{x - 1}$
Последовательно применяя формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ в числителе, получаем:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$
$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$
$(x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$
$(x^8 - 1)(x^8 + 1) = (x^8)^2 - 1^2 = x^{16} - 1$
Таким образом, левая часть уравнения тождественно равна $\frac{x^{16} - 1}{x - 1}$.
Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного уравнения:
$\frac{x^{16} - 1}{x - 1} = \frac{x^{16} + x^2 - 5x + 3}{x - 1}$
Так как знаменатели дробей равны и не равны нулю, мы можем приравнять их числители:
$x^{16} - 1 = x^{16} + x^2 - 5x + 3$
Вычтем из обеих частей $x^{16}$:
$-1 = x^2 - 5x + 3$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета или через разложение на множители находим корни:
$(x - 1)(x - 4) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Вспомним про ограничение $x \neq 1$. Корень $x_1 = 1$ является посторонним. Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет этому условию.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $x = 4$.

б) Рассматриваем уравнение $(x - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) = \frac{x^{16} + x^2 + 5x + 3}{x + 1}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется знаменателем дроби: $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.
Упростим левую часть уравнения. Умножим и разделим ее на $(x + 1)$.
$(x - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) = \frac{(x + 1)(x - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)}{x + 1}$
Как и в предыдущем пункте, свернем произведение в числителе по формуле разности квадратов:
$(x + 1)(x - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) = (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1) = x^{16} - 1$
Значит, левая часть уравнения равна $\frac{x^{16} - 1}{x + 1}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\frac{x^{16} - 1}{x + 1} = \frac{x^{16} + x^2 + 5x + 3}{x + 1}$
Приравниваем числители, так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ):
$x^{16} - 1 = x^{16} + x^2 + 5x + 3$
Вычитаем $x^{16}$ из обеих частей:
$-1 = x^2 + 5x + 3$
Получаем квадратное уравнение:
$x^2 + 5x + 4 = 0$
Решаем его, например, разложением на множители:
$(x + 1)(x + 4) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$.
Согласно ОДЗ, $x \neq -1$, поэтому корень $x_1 = -1$ является посторонним. Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ.
Таким образом, решение уравнения единственно.
Ответ: $x = -4$.