Номер 10.18, страница 273 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.18, страница 273.

Условие.

10.18* a) $ \frac{|x-2|-|x|}{|2x-1|+|x|} = \frac{|2x-1|-|x|}{|x-2|+|x|} $;

б) $ \frac{|2x-3|-|x|}{|3x-2|+|x|} = \frac{|3x-2|-|x|}{|2x-3|+|x|} $;

В) $ \frac{\sqrt{3x+5}-\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{3x+5}+\sqrt{x}} $;

Г) $ \frac{\sqrt{2x+4}-\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x}}{\sqrt{2x+4}+\sqrt{x}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $ \frac{|x-2|-|x|}{|2x-1|+|x|} = \frac{|2x-1|-|x|}{|x-2|+|x|} $.

Это уравнение является пропорцией. Воспользуемся свойством пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies ad = bc$.

$ (|x-2|-|x|)(|x-2|+|x|) = (|2x-1|-|x|)(|2x-1|+|x|) $

Применим формулу разности квадратов $(u-v)(u+v) = u^2-v^2$ к обеим частям уравнения:

$ |x-2|^2 - |x|^2 = |2x-1|^2 - |x|^2 $

Прибавим к обеим частям $|x|^2$:

$ |x-2|^2 = |2x-1|^2 $

Так как $|a|^2 = a^2$, уравнение принимает вид:

$ (x-2)^2 = (2x-1)^2 $

Это равенство возможно в двух случаях: $a^2=b^2 \iff a=b$ или $a=-b$.

1) $ x-2 = 2x-1 $

$ -x = 1 $

$ x = -1 $

2) $ x-2 = -(2x-1) $

$ x-2 = -2x+1 $

$ 3x = 3 $

$ x = 1 $

Проверим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю. Знаменатель $|2x-1|+|x|$ равен нулю только если $|2x-1|=0$ и $|x|=0$ одновременно, что невозможно. Аналогично, знаменатель $|x-2|+|x|$ не равен нулю ни при каких значениях $x$. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа. Оба найденных корня входят в ОДЗ.

Ответ: $x = -1; x = 1$.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{|2x-3|-|x|}{|3x-2|+|x|} = \frac{|3x-2|-|x|}{|2x-3|+|x|} $.

Уравнение имеет ту же структуру, что и в пункте а). Используя свойство пропорции и формулу разности квадратов, получаем:

$ |2x-3|^2 - |x|^2 = |3x-2|^2 - |x|^2 $

$ |2x-3|^2 = |3x-2|^2 $

$ (2x-3)^2 = (3x-2)^2 $

Раскрываем это уравнение двумя способами:

1) $ 2x-3 = 3x-2 $

$ -x = 1 $

$ x = -1 $

2) $ 2x-3 = -(3x-2) $

$ 2x-3 = -3x+2 $

$ 5x = 5 $

$ x = 1 $

ОДЗ: знаменатели $|3x-2|+|x|$ и $|2x-3|+|x|$ не равны нулю ни при каких значениях $x$, так как являются суммой неотрицательных чисел, которые не могут одновременно быть нулями. ОДЗ — все действительные числа. Оба корня являются решениями.

Ответ: $x = -1; x = 1$.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{\sqrt{3x+5}-\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{3x+5}+\sqrt{x}} $.

Аналогично предыдущим пунктам, по свойству пропорции и формуле разности квадратов получаем:

$ (\sqrt{3x+5})^2 - (\sqrt{x})^2 = (\sqrt{x^2+1})^2 - (\sqrt{x})^2 $

$ 3x+5 - x = x^2+1 - x $

Упростим уравнение:

$ 3x+5 = x^2+1 $

$ x^2 - 3x - 4 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Теперь проверим ОДЗ. Выражения под корнем должны быть неотрицательными:

1) $ 3x+5 \ge 0 \implies x \ge -5/3 $

2) $ x \ge 0 $

3) $ x^2+1 \ge 0 $ (верно для всех $x$)

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

Знаменатели $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}$ и $\sqrt{3x+5}+\sqrt{x}$ равны нулю только если оба слагаемых равны нулю одновременно, что невозможно в области ОДЗ.

Проверим найденные корни:

$x_1 = 4$. $4 \ge 0$, корень подходит.

$x_2 = -1$. $-1 < 0$, корень не входит в ОДЗ и является посторонним.

Ответ: $x = 4$.

г)

Исходное уравнение: $ \frac{\sqrt{2x+4}-\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x^2+3}-\sqrt{x}}{\sqrt{2x+4}+\sqrt{x}} $.

Структура уравнения такая же. Применяя свойство пропорции и разность квадратов, имеем:

$ (\sqrt{2x+4})^2 - (\sqrt{x})^2 = (\sqrt{x^2+3})^2 - (\sqrt{x})^2 $

$ 2x+4 - x = x^2+3 - x $

$ 2x+4 = x^2+3 $

$ x^2 - 2x - 1 = 0 $

Решим квадратное уравнение по формуле корней:

$ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} $

Получаем два корня: $x_1 = 1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.

Проверим ОДЗ:

1) $ 2x+4 \ge 0 \implies x \ge -2 $

2) $ x \ge 0 $

3) $ x^2+3 \ge 0 $ (верно для всех $x$)

Общая ОДЗ: $x \ge 0$.

Проверим корни:

$x_1 = 1 + \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, то $1+\sqrt{2} > 0$. Этот корень подходит.

$x_2 = 1 - \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $1 - \sqrt{2} < 0$. Этот корень не входит в ОДЗ.

Ответ: $x = 1+\sqrt{2}$.