Номер 10.10, страница 270 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах - номер 10.10, страница 270.

Условие.

10.10* a) $ \frac{1 + \cos x}{\sqrt{1 - \cos x}} = |\sin x|; $

Б)

$ \frac{1 - \sin x}{\sqrt{1 + \sin x}} = |\cos x|; $

В)

$ \frac{1 - \cos x}{\sqrt{1 - \cos x}} = |\sin x|; $

Г)

$ \frac{1 + \sin x}{\sqrt{1 + \sin x}} = |\cos x|. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим уравнение $ \frac{1+\cos x}{\sqrt{1-\cos x}} = |\sin x| $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием подкоренного выражения в знаменателе: $ 1 - \cos x > 0 $, что означает $ \cos x < 1 $. Это условие выполняется для всех $ x $, кроме $ x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Правая часть уравнения $ |\sin x| $ неотрицательна. Левая часть также должна быть неотрицательной. Знаменатель $ \sqrt{1-\cos x} $ положителен в ОДЗ, а числитель $ 1+\cos x \ge 0 $ для всех $ x $. Следовательно, обе части уравнения неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат: $ \frac{(1+\cos x)^2}{1-\cos x} = (|\sin x|)^2 $
$ \frac{(1+\cos x)^2}{1-\cos x} = \sin^2 x $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x) $, получаем: $ \frac{(1+\cos x)^2}{1-\cos x} = (1-\cos x)(1+\cos x) $
Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель $ (1+\cos x) $: $ (1+\cos x) \left( \frac{1+\cos x}{1-\cos x} - (1-\cos x) \right) = 0 $
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $ 1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1 $. Отсюда $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти значения входят в ОДЗ.
2) $ \frac{1+\cos x}{1-\cos x} - (1-\cos x) = 0 $
$ 1+\cos x = (1-\cos x)^2 $
$ 1+\cos x = 1 - 2\cos x + \cos^2 x $
$ \cos^2 x - 3\cos x = 0 $
$ \cos x (\cos x - 3) = 0 $
Так как $ \cos x \neq 3 $, то $ \cos x = 0 $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти значения также входят в ОДЗ.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим уравнение $ \frac{1-\sin x}{\sqrt{1+\sin x}} = |\cos x| $.
ОДЗ: $ 1 + \sin x > 0 \implies \sin x > -1 $. Это условие выполняется для всех $ x $, кроме $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Обе части уравнения неотрицательны (числитель $ 1-\sin x \ge 0 $ для всех $x$), поэтому можно возвести их в квадрат: $ \frac{(1-\sin x)^2}{1+\sin x} = \cos^2 x $
Используя тождество $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = (1-\sin x)(1+\sin x) $, получаем: $ \frac{(1-\sin x)^2}{1+\sin x} = (1-\sin x)(1+\sin x) $
Равенство выполняется в двух случаях:
1) $ 1 - \sin x = 0 \implies \sin x = 1 $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти значения входят в ОДЗ.
2) Если $ 1 - \sin x \neq 0 $, можно разделить на него обе части: $ \frac{1-\sin x}{1+\sin x} = 1+\sin x $
$ 1-\sin x = (1+\sin x)^2 $
$ 1-\sin x = 1 + 2\sin x + \sin^2 x $
$ \sin^2 x + 3\sin x = 0 $
$ \sin x (\sin x + 3) = 0 $
Так как $ \sin x \neq -3 $, то $ \sin x = 0 $. Отсюда $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эти значения также входят в ОДЗ.
Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) Решим уравнение $ \sqrt{1-\cos x} = |\sin x| $.
ОДЗ: $ 1 - \cos x \ge 0 $, что верно для любого $ x \in \mathbb{R} $, так как $ \cos x \le 1 $.
Обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат: $ (\sqrt{1-\cos x})^2 = (|\sin x|)^2 $
$ 1 - \cos x = \sin^2 x $
Используем тождество $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $: $ 1 - \cos x = 1 - \cos^2 x $
$ \cos^2 x - \cos x = 0 $
$ \cos x (\cos x - 1) = 0 $
Получаем два случая:
1) $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
2) $ \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) Решим уравнение $ \sqrt{1+\sin x} = |\cos x| $.
ОДЗ: $ 1 + \sin x \ge 0 $, что верно для любого $ x \in \mathbb{R} $, так как $ \sin x \ge -1 $.
Обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат: $ (\sqrt{1+\sin x})^2 = (|\cos x|)^2 $
$ 1 + \sin x = \cos^2 x $
Используем тождество $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $: $ 1 + \sin x = 1 - \sin^2 x $
$ \sin^2 x + \sin x = 0 $
$ \sin x (\sin x + 1) = 0 $
Получаем два случая:
1) $ \sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
2) $ \sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.