Номер 10.8, страница 269 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.8, страница 269.

Условие.

10.8 a) $\sqrt{-2x} = |x+1|$;

В) $\sqrt{2-x} = |x-3|$;

б) $\sqrt{4x} = |x-2|$;

Г) $\sqrt{5-x} = |x-2|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим уравнение $\sqrt{-2x} = |x+1|$.
1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.
$-2x \ge 0 \implies x \le 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0]$.
2. Так как обе части уравнения неотрицательны, возведём их в квадрат, чтобы избавиться от корня и модуля:
$(\sqrt{-2x})^2 = (|x+1|)^2$
$-2x = (x+1)^2$
$-2x = x^2 + 2x + 1$
3. Приведём уравнение к стандартному квадратному виду и решим его:
$x^2 + 4x + 1 = 0$
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
Найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.
Получаем два корня: $x_1 = -2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{3}$.
4. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ ($x \le 0$):
Для корня $x_1 = -2 + \sqrt{3}$: поскольку $1 < \sqrt{3} < 2$ (т.к. $1^2=1$, $(\sqrt{3})^2=3$, $2^2=4$), то $-1 < -2 + \sqrt{3} < 0$. Условие $x_1 \le 0$ выполняется.
Для корня $x_2 = -2 - \sqrt{3}$: это число очевидно является отрицательным, поэтому условие $x_2 \le 0$ также выполняется.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $-2 \pm \sqrt{3}$.

б) Решим уравнение $\sqrt{4x} = |x-2|$.
1. Найдём ОДЗ: $4x \ge 0 \implies x \ge 0$.
ОДЗ: $x \in [0, +\infty)$.
2. Возведём обе неотрицательные части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{4x})^2 = (|x-2|)^2$
$4x = (x-2)^2$
$4x = x^2 - 4x + 4$
3. Решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 8x + 4 = 0$
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$.
$x = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16 \cdot 3}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$.
Получаем два корня: $x_1 = 4 + 2\sqrt{3}$ и $x_2 = 4 - 2\sqrt{3}$.
4. Проверим принадлежность корней ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = 4 + 2\sqrt{3}$ является положительным, так как это сумма двух положительных чисел. Условие $x_1 \ge 0$ выполняется.
Корень $x_2 = 4 - 2\sqrt{3}$. Чтобы сравнить его с нулём, сравним $4$ и $2\sqrt{3}$. Возведём их в квадрат: $4^2 = 16$ и $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$. Так как $16 > 12$, то $4 > 2\sqrt{3}$, следовательно $4 - 2\sqrt{3} > 0$. Условие $x_2 \ge 0$ выполняется.
Оба корня подходят.
Ответ: $4 \pm 2\sqrt{3}$.

в) Решим уравнение $\sqrt{2-x} = |x-3|$.
1. Найдём ОДЗ: $2-x \ge 0 \implies x \le 2$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 2]$.
2. Возведём обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2-x})^2 = (|x-3|)^2$
$2-x = (x-3)^2$
$2-x = x^2 - 6x + 9$
3. Приведём уравнение к стандартному виду и решим его:
$x^2 - 5x + 7 = 0$
Вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

г) Решим уравнение $\sqrt{5-x} = |x-2|$.
1. Найдём ОДЗ: $5-x \ge 0 \implies x \le 5$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 5]$.
2. Возведём обе части в квадрат:
$(\sqrt{5-x})^2 = (|x-2|)^2$
$5-x = (x-2)^2$
$5-x = x^2 - 4x + 4$
3. Решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 3x - 1 = 0$
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.
$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Получаем два корня: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$.
4. Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x \le 5$):
Для корня $x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$: так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $3+3 < 3+\sqrt{13} < 3+4$, то есть $6 < 3+\sqrt{13} < 7$. После деления на 2 получаем: $3 < \frac{3 + \sqrt{13}}{2} < 3.5$. Так как $3.5 \le 5$, корень $x_1$ удовлетворяет ОДЗ.
Для корня $x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$: так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $3-4 < 3-\sqrt{13} < 3-3$, то есть $-1 < 3-\sqrt{13} < 0$. После деления на 2 получаем: $-0.5 < \frac{3 - \sqrt{13}}{2} < 0$. Так как $-0.5 \le 5$, корень $x_2$ также удовлетворяет ОДЗ.
Оба корня подходят.
Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$.