Номер 10.1, страница 267 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 10.1, страница 267.

Условие.

10.1 a) Какие уравнения называют равносильными на множестве $M$?

б) Что называют равносильным на множестве $M$ переходом от одного уравнения к другому?

в) Какие преобразования приводят к уравнению, равносильному исходному на некотором множестве $M$?

г) В каком случае говорят, что уравнения равносильны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Два уравнения называют равносильными на множестве $M$, если множества их корней, принадлежащих этому множеству $M$, совпадают. Другими словами, если $K_1$ — множество корней первого уравнения, а $K_2$ — множество корней второго уравнения, то уравнения равносильны на множестве $M$, если $K_1 \cap M = K_2 \cap M$. Это включает и случай, когда оба уравнения не имеют корней на множестве $M$.

Ответ: Уравнения называют равносильными на множестве $M$, если множества их корней, принадлежащих этому множеству, совпадают.

б) Равносильным на множестве $M$ переходом от одного уравнения к другому называют преобразование (или последовательность преобразований), в результате которого из исходного уравнения получается новое уравнение, равносильное исходному на множестве $M$. Такой переход гарантирует, что не произойдет ни потери корней, принадлежащих $M$, ни появления посторонних корней на этом множестве.

Ответ: Равносильным на множестве $M$ переходом называют преобразование одного уравнения в другое, в результате которого новое уравнение равносильно исходному на множестве $M$.

в) Преобразования, которые приводят к уравнению, равносильному исходному на некотором множестве $M$, называют равносильными или тождественными преобразованиями на этом множестве. К ним относятся:

• Замена любой части уравнения выражением, тождественно равным ему на множестве $M$.
• Перенос любого члена уравнения из одной его части в другую с противоположным знаком.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение $h(x)$, которое определено и не обращается в нуль ни для одного значения $x$ из множества $M$.
• Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень.
• Возведение обеих частей уравнения $f(x) = g(x)$ в одну и ту же четную натуральную степень, если на множестве $M$ обе части уравнения $f(x)$ и $g(x)$ неотрицательны.
• Логарифмирование обеих частей уравнения по одному и тому же основанию $a$ ($a>0, a \ne 1$), если на множестве $M$ обе части уравнения положительны.

Ответ: К равносильному на множестве $M$ уравнению приводят равносильные преобразования, такие как: перенос слагаемых, умножение/деление на ненулевое число или на выражение, не обращающееся в нуль на $M$, тождественные замены выражений, возведение в нечетную степень, а также возведение в четную степень или логарифмирование при соблюдении соответствующих условий (неотрицательность или положительность частей уравнения на $M$).

г) Говорят, что уравнения равносильны (когда множество $M$ не указывается), если они имеют одно и то же множество корней. Это частный случай равносильности на множестве всех действительных чисел $R$. То есть, каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Ответ: Говорят, что уравнения равносильны, если множества их корней совпадают.