Номер 9.71, страница 265 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.71, страница 265.

Условие.

9.71* a) $\sqrt{\log_2 (x - 3)} + 10^{\log_2 (x - 3)} < \sqrt{\log_2 (x^2 - 3x)} + 10^{\log_2 (x^2 - 3x)},$

б) $\sqrt{\log_5 (x + 1)} + 3^{\log_5 (x + 1)} < \sqrt{\log_5 \frac{2}{x}} + 3^{\log_5 \frac{2}{x}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Рассмотрим неравенство $\sqrt{\log_2(x - 3)} + 10^{\log_2(x - 3)} < \sqrt{\log_2(x^2 - 3x)} + 10^{\log_2(x^2 - 3x)}$.
Данное неравенство имеет вид $f(u) < f(v)$, где $f(t) = \sqrt{t} + 10^t$, $u = \log_2(x - 3)$ и $v = \log_2(x^2 - 3x)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Для этого должны выполняться следующие условия:
1. Аргументы логарифмов должны быть положительны:
$x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$
$x^2 - 3x > 0 \Rightarrow x(x - 3) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$
Из этих двух условий следует, что $x > 3$.
2. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательны:
$\log_2(x - 3) \ge 0 \Rightarrow x - 3 \ge 2^0 \Rightarrow x - 3 \ge 1 \Rightarrow x \ge 4$.
$\log_2(x^2 - 3x) \ge 0 \Rightarrow x^2 - 3x \ge 2^0 \Rightarrow x^2 - 3x - 1 \ge 0$.
Корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x - 1 = 0$ равны $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(-1)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Неравенство $x^2 - 3x - 1 \ge 0$ выполняется при $x \le \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$ или $x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$.
Объединяя все условия в систему:
$\begin{cases} x > 3 \\ x \ge 4 \\ x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \end{cases}$
Поскольку $3 < \sqrt{13} < 4$, то $3 < \frac{3 + \sqrt{13}}{2} < 3.5$. Условие $x \ge 4$ является наиболее сильным и удовлетворяет всем остальным. Таким образом, ОДЗ: $x \ge 4$.

Теперь исследуем функцию $f(t) = \sqrt{t} + 10^t$ на монотонность при $t \ge 0$. Ее производная $f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} + 10^t \ln{10}$. При $t > 0$ оба слагаемых положительны, следовательно, $f'(t) > 0$. Функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $t \in [0, \infty)$.

Так как функция $f(t)$ строго возрастает, то неравенство $f(u) < f(v)$ равносильно неравенству $u < v$:
$\log_2(x - 3) < \log_2(x^2 - 3x)$
Основание логарифма $2 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастающая, и неравенство равносильно следующему:
$x - 3 < x^2 - 3x$
$x^2 - 4x + 3 > 0$
$(x - 1)(x - 3) > 0$
Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x \ge 4$).
$((-\infty, 1) \cup (3, \infty)) \cap [4, +\infty) = [4, +\infty)$.

Ответ: $x \in [4, +\infty)$.

б) Рассмотрим неравенство $\sqrt{\log_5(x + 1)} + 3^{\log_5(x + 1)} < \sqrt{\log_5\frac{2}{x}} + 3^{\log_5\frac{2}{x}}$.
Данное неравенство имеет вид $f(u) < f(v)$, где $f(t) = \sqrt{t} + 3^t$, $u = \log_5(x + 1)$ и $v = \log_5\frac{2}{x}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Аргументы логарифмов должны быть положительны:
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
$\frac{2}{x} > 0 \Rightarrow x > 0$
2. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательны:
$\log_5(x + 1) \ge 0 \Rightarrow x + 1 \ge 5^0 \Rightarrow x + 1 \ge 1 \Rightarrow x \ge 0$.
$\log_5\frac{2}{x} \ge 0 \Rightarrow \frac{2}{x} \ge 5^0 \Rightarrow \frac{2}{x} \ge 1$. Так как $x > 0$, можем умножить на $x$: $2 \ge x \Rightarrow x \le 2$.
Объединяя все условия: $x > 0$, $x \ge 0$ и $x \le 2$, получаем ОДЗ: $x \in (0, 2]$.

Исследуем функцию $f(t) = \sqrt{t} + 3^t$ на монотонность при $t \ge 0$. Ее производная $f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} + 3^t \ln{3}$. При $t > 0$ производная $f'(t) > 0$, следовательно, функция $f(t)$ является строго возрастающей на $t \in [0, \infty)$.

Так как функция $f(t)$ строго возрастает, то неравенство $f(u) < f(v)$ равносильно неравенству $u < v$:
$\log_5(x + 1) < \log_5\frac{2}{x}$
Основание логарифма $5 > 1$, поэтому неравенство равносильно:
$x + 1 < \frac{2}{x}$
Поскольку в ОДЗ $x > 0$, умножим обе части на $x$:
$x(x + 1) < 2$
$x^2 + x - 2 < 0$
$(x + 2)(x - 1) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $x \in (-2, 1)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x \in (0, 2]$).
$(-2, 1) \cap (0, 2] = (0, 1)$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.