Номер 9.65, страница 263 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.65, страница 263.

Условие.

9.65* ИССЛЕДУЕМ При каких значениях параметра $a$ все решения неравенства $\sqrt{x - 2a} > \sqrt{4 - x}$ содержатся в интервале $(0; 5)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи сначала найдем множество решений $S$ данного неравенства, а затем определим, при каких значениях параметра $a$ это множество будет являться подмножеством интервала $(0; 5)$.

Исходное неравенство: $\sqrt{x-2a} > \sqrt{4-x}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств: $$ \begin{cases} x - 2a \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases} $$ Решая эту систему, получаем: $$ \begin{cases} x \ge 2a \\ x \le 4 \end{cases} $$ Таким образом, ОДЗ для переменной $x$ — это отрезок $[2a, 4]$. Для того чтобы этот отрезок не был пустым множеством, необходимо, чтобы его левая граница была не больше правой: $2a \le 4$, откуда следует $a \le 2$. Если $a > 2$, то ОДЗ пусто, и неравенство не имеет решений.

2. Решим неравенство.

В области допустимых значений обе части неравенства $\sqrt{x-2a} > \sqrt{4-x}$ неотрицательны, поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, не меняя знака неравенства: $$ x - 2a > 4 - x $$ $$ 2x > 4 + 2a $$ $$ x > a + 2 $$

3. Найдем множество решений неравенства.

Решение исходного неравенства — это пересечение найденного условия $x > a + 2$ с ОДЗ $x \in [2a, 4]$. Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a < 2$. В этом случае ОДЗ не пусто. Решение неравенства $x$ должно удовлетворять трем условиям: $x \ge 2a$, $x \le 4$ и $x > a + 2$. Совмещая их, получаем множество решений $S = (a+2, 4]$. Это множество не пусто, так как из $a < 2$ следует $a+2 < 4$.

Случай 2: $a \ge 2$. Как было установлено ранее, при $a=2$ ОДЗ вырождается в точку $x=4$, а при $a>2$ ОДЗ является пустым множеством. Если $a=2$, то ОДЗ $x \in [4, 4]$, а условие $x > a+2$ становится $x > 4$. Эти условия несовместны. Если $a > 2$, решений нет, так как ОДЗ пусто. Таким образом, при $a \ge 2$ множество решений неравенства $S$ является пустым ($S = \emptyset$).

4. Применим условие, что все решения содержатся в интервале $(0; 5)$.

Нам необходимо найти все значения $a$, при которых множество решений $S$ является подмножеством интервала $(0; 5)$, то есть $S \subseteq (0; 5)$. Снова рассмотрим два случая.

Случай 1: $a \ge 2$. В этом случае множество решений $S = \emptyset$. Пустое множество является подмножеством любого множества, в том числе и интервала $(0; 5)$. Следовательно, все значения $a \ge 2$ удовлетворяют условию задачи.

Случай 2: $a < 2$. В этом случае множество решений $S = (a+2, 4]$. Для выполнения условия $(a+2, 4] \subseteq (0; 5)$ необходимо, чтобы выполнялись следующие два условия для границ интервала:
1. Левая граница множества $S$ должна быть не меньше левой границы интервала $(0; 5)$: $a+2 \ge 0 \implies a \ge -2$.
2. Правая граница множества $S$ должна быть меньше правой границы интервала $(0; 5)$: $4 < 5$. Это неравенство является верным.
Объединяя условия для этого случая ($a < 2$ и $a \ge -2$), получаем, что параметр $a$ должен принадлежать полуинтервалу $[-2, 2)$.

5. Объединение результатов.

Итоговый ответ — это объединение множеств значений $a$, найденных в обоих случаях. Из первого случая мы получили $a \in [2, +\infty)$. Из второго случая мы получили $a \in [-2, 2)$. Объединяя эти два множества, получаем: $[-2, 2) \cup [2, +\infty) = [-2, +\infty)$.

Ответ: $a \in [-2; +\infty)$.