Номер 9.58, страница 262 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.58, страница 262.

Условие.

9.58* a) $|x + 1| < x^2 - 2x + 1;$

Б) $|x + 1| > x^2 + 4x + 1;$

В) $|3\sqrt{x} - 5| > \sqrt{x} - 1;$

Г) $|2\sqrt{x} - 7| > \sqrt{x} - 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное неравенство: $|x + 1| < x^2 - 2x + 1$.

Заметим, что правая часть является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. Таким образом, неравенство принимает вид:

$|x + 1| < (x - 1)^2$

Решим это неравенство, рассмотрев два случая раскрытия модуля.

Случай 1: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс, и неравенство становится:

$x + 1 < x^2 - 2x + 1$

$0 < x^2 - 3x$

$x(x - 3) > 0$

Решением этого квадратного неравенства является объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.

Учитывая условие $x \ge -1$, получаем решение для первого случая: $x \in [-1, 0) \cup (3, +\infty)$.

Случай 2: $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком минус:

$-(x + 1) < x^2 - 2x + 1$

$-x - 1 < x^2 - 2x + 1$

$0 < x^2 - x + 2$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - x + 2$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), трехчлен $x^2 - x + 2$ положителен при любых значениях $x$.

Следовательно, решение этого неравенства — $x \in (-\infty, +\infty)$. Учитывая условие $x < -1$, получаем решение для второго случая: $x \in (-\infty, -1)$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ:

$([-1, 0) \cup (3, +\infty)) \cup (-\infty, -1) = (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.

б)

Исходное неравенство: $|x + 1| > x^2 + 4x + 1$.

Рассмотрим два случая раскрытия модуля.

Случай 1: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.

$x + 1 > x^2 + 4x + 1$

$0 > x^2 + 3x$

$x(x + 3) < 0$

Решением является интервал $(-3, 0)$. Учитывая условие $x \ge -1$, получаем решение для этого случая: $x \in [-1, 0)$.

Случай 2: $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$.

$-(x + 1) > x^2 + 4x + 1$

$-x - 1 > x^2 + 4x + 1$

$0 > x^2 + 5x + 2$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 2 = 0$: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Неравенство $x^2 + 5x + 2 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}, \frac{-5 + \sqrt{17}}{2})$.

Учитывая условие $x < -1$ и то, что $\frac{-5 + \sqrt{17}}{2} > -1$ (так как $\sqrt{17} > 3$), получаем решение для этого случая: $x \in (\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}, -1)$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем:

$[-1, 0) \cup (\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}, -1) = (\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}, 0)$

Ответ: $x \in (\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}, 0)$.

в)

Исходное неравенство: $|3\sqrt{x} - 5| > \sqrt{x} - 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $3\sqrt{x} - 5 \ge 0 \implies 3\sqrt{x} \ge 5 \implies \sqrt{x} \ge \frac{5}{3} \implies x \ge \frac{25}{9}$.

$3\sqrt{x} - 5 > \sqrt{x} - 1$

$2\sqrt{x} > 4$

$\sqrt{x} > 2 \implies x > 4$

Пересекая с условием $x \ge \frac{25}{9}$, получаем $x > 4$ (так как $4 = \frac{36}{9} > \frac{25}{9}$).

Случай 2: $3\sqrt{x} - 5 < 0 \implies 0 \le x < \frac{25}{9}$.

$-(3\sqrt{x} - 5) > \sqrt{x} - 1$

$-3\sqrt{x} + 5 > \sqrt{x} - 1$

$6 > 4\sqrt{x}$

$\sqrt{x} < \frac{3}{2} \implies x < \frac{9}{4}$

Пересекая с условием $0 \le x < \frac{25}{9}$, получаем $0 \le x < \frac{9}{4}$ (так как $\frac{9}{4} = 2.25$, а $\frac{25}{9} \approx 2.78$).

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ:

$x \in [0, \frac{9}{4}) \cup (4, +\infty)$

Ответ: $x \in [0, \frac{9}{4}) \cup (4, +\infty)$.

г)

Исходное неравенство: $|2\sqrt{x} - 7| > \sqrt{x} - 2$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $2\sqrt{x} - 7 \ge 0 \implies 2\sqrt{x} \ge 7 \implies \sqrt{x} \ge \frac{7}{2} \implies x \ge \frac{49}{4}$.

$2\sqrt{x} - 7 > \sqrt{x} - 2$

$\sqrt{x} > 5 \implies x > 25$

Пересекая с условием $x \ge \frac{49}{4}$ (12.25), получаем $x > 25$.

Случай 2: $2\sqrt{x} - 7 < 0 \implies 0 \le x < \frac{49}{4}$.

$-(2\sqrt{x} - 7) > \sqrt{x} - 2$

$-2\sqrt{x} + 7 > \sqrt{x} - 2$

$9 > 3\sqrt{x}$

$\sqrt{x} < 3 \implies x < 9$

Пересекая с условием $0 \le x < \frac{49}{4}$ (12.25), получаем $0 \le x < 9$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ:

$x \in [0, 9) \cup (25, +\infty)$

Ответ: $x \in [0, 9) \cup (25, +\infty)$.