Номер 9.58, страница 262 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.58, страница 262.
№9.58 (с. 262)
Условие. №9.58 (с. 262)
скриншот условия

9.58* a) $|x + 1| < x^2 - 2x + 1;$
Б) $|x + 1| > x^2 + 4x + 1;$
В) $|3\sqrt{x} - 5| > \sqrt{x} - 1;$
Г) $|2\sqrt{x} - 7| > \sqrt{x} - 2.$
Решение 1. №9.58 (с. 262)




Решение 2. №9.58 (с. 262)


Решение 3. №9.58 (с. 262)

Решение 4. №9.58 (с. 262)
а)
Исходное неравенство: $|x + 1| < x^2 - 2x + 1$.
Заметим, что правая часть является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. Таким образом, неравенство принимает вид:
$|x + 1| < (x - 1)^2$
Решим это неравенство, рассмотрев два случая раскрытия модуля.
Случай 1: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс, и неравенство становится:
$x + 1 < x^2 - 2x + 1$
$0 < x^2 - 3x$
$x(x - 3) > 0$
Решением этого квадратного неравенства является объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.
Учитывая условие $x \ge -1$, получаем решение для первого случая: $x \in [-1, 0) \cup (3, +\infty)$.
Случай 2: $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$.
В этом случае модуль раскрывается со знаком минус:
$-(x + 1) < x^2 - 2x + 1$
$-x - 1 < x^2 - 2x + 1$
$0 < x^2 - x + 2$
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - x + 2$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), трехчлен $x^2 - x + 2$ положителен при любых значениях $x$.
Следовательно, решение этого неравенства — $x \in (-\infty, +\infty)$. Учитывая условие $x < -1$, получаем решение для второго случая: $x \in (-\infty, -1)$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ:
$([-1, 0) \cup (3, +\infty)) \cup (-\infty, -1) = (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.
б)
Исходное неравенство: $|x + 1| > x^2 + 4x + 1$.
Рассмотрим два случая раскрытия модуля.
Случай 1: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
$x + 1 > x^2 + 4x + 1$
$0 > x^2 + 3x$
$x(x + 3) < 0$
Решением является интервал $(-3, 0)$. Учитывая условие $x \ge -1$, получаем решение для этого случая: $x \in [-1, 0)$.
Случай 2: $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$.
$-(x + 1) > x^2 + 4x + 1$
$-x - 1 > x^2 + 4x + 1$
$0 > x^2 + 5x + 2$
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 2 = 0$: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Неравенство $x^2 + 5x + 2 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}, \frac{-5 + \sqrt{17}}{2})$.
Учитывая условие $x < -1$ и то, что $\frac{-5 + \sqrt{17}}{2} > -1$ (так как $\sqrt{17} > 3$), получаем решение для этого случая: $x \in (\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}, -1)$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем:
$[-1, 0) \cup (\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}, -1) = (\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}, 0)$
Ответ: $x \in (\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}, 0)$.
в)
Исходное неравенство: $|3\sqrt{x} - 5| > \sqrt{x} - 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $3\sqrt{x} - 5 \ge 0 \implies 3\sqrt{x} \ge 5 \implies \sqrt{x} \ge \frac{5}{3} \implies x \ge \frac{25}{9}$.
$3\sqrt{x} - 5 > \sqrt{x} - 1$
$2\sqrt{x} > 4$
$\sqrt{x} > 2 \implies x > 4$
Пересекая с условием $x \ge \frac{25}{9}$, получаем $x > 4$ (так как $4 = \frac{36}{9} > \frac{25}{9}$).
Случай 2: $3\sqrt{x} - 5 < 0 \implies 0 \le x < \frac{25}{9}$.
$-(3\sqrt{x} - 5) > \sqrt{x} - 1$
$-3\sqrt{x} + 5 > \sqrt{x} - 1$
$6 > 4\sqrt{x}$
$\sqrt{x} < \frac{3}{2} \implies x < \frac{9}{4}$
Пересекая с условием $0 \le x < \frac{25}{9}$, получаем $0 \le x < \frac{9}{4}$ (так как $\frac{9}{4} = 2.25$, а $\frac{25}{9} \approx 2.78$).
Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ:
$x \in [0, \frac{9}{4}) \cup (4, +\infty)$
Ответ: $x \in [0, \frac{9}{4}) \cup (4, +\infty)$.
г)
Исходное неравенство: $|2\sqrt{x} - 7| > \sqrt{x} - 2$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $2\sqrt{x} - 7 \ge 0 \implies 2\sqrt{x} \ge 7 \implies \sqrt{x} \ge \frac{7}{2} \implies x \ge \frac{49}{4}$.
$2\sqrt{x} - 7 > \sqrt{x} - 2$
$\sqrt{x} > 5 \implies x > 25$
Пересекая с условием $x \ge \frac{49}{4}$ (12.25), получаем $x > 25$.
Случай 2: $2\sqrt{x} - 7 < 0 \implies 0 \le x < \frac{49}{4}$.
$-(2\sqrt{x} - 7) > \sqrt{x} - 2$
$-2\sqrt{x} + 7 > \sqrt{x} - 2$
$9 > 3\sqrt{x}$
$\sqrt{x} < 3 \implies x < 9$
Пересекая с условием $0 \le x < \frac{49}{4}$ (12.25), получаем $0 \le x < 9$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ:
$x \in [0, 9) \cup (25, +\infty)$
Ответ: $x \in [0, 9) \cup (25, +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.58 расположенного на странице 262 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.58 (с. 262), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.