Номер 9.51, страница 262 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.51, страница 262.

Условие.

9.51* Докажите справедливость утверждений 6 и 7.

Решение 2.

Решение 4.

Для доказательства утверждений 6 и 7 нам понадобятся основные определения и соотношения для плоской электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме.

• Вектор Пойнтинга (вектор плотности потока энергии): $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} [\vec{E} \times \vec{B}]$. Его модуль $S$ определяет энергию, проходящую через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, за единицу времени. Для плоской волны, где $\vec{E} \perp \vec{B}$, его модуль равен $S = \frac{EB}{\mu_0}$.
• Объемная плотность энергии электромагнитного поля: $w = w_E + w_B = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0}$.
• Связь между модулями векторов напряженности электрического и магнитной индукции в плоской волне: $E = cB$.
• Скорость света в вакууме: $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$.

Утверждение 6. Плотность потока электромагнитной энергии $S$ связана с объемной плотностью энергии $w$ соотношением $S = wc$.

Докажем, что для плоской электромагнитной волны плотности энергии электрического и магнитного полей равны в любой момент времени: $w_E = w_B$.
Используем соотношение $E = cB$ и определение скорости света $c^2 = 1/(\varepsilon_0 \mu_0)$.
$w_E = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} = \frac{\varepsilon_0 (cB)^2}{2} = \frac{\varepsilon_0 c^2 B^2}{2}$.
Подставим $c^2$:
$w_E = \frac{\varepsilon_0}{2} \left(\frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}\right) B^2 = \frac{B^2}{2\mu_0} = w_B$.
Таким образом, $w_E = w_B$.
Полная объемная плотность энергии $w$ равна:
$w = w_E + w_B = 2w_E = \varepsilon_0 E^2$ или $w = 2w_B = \frac{B^2}{\mu_0}$.
Теперь выразим модуль вектора Пойнтинга $S$ через $w$.
$S = \frac{EB}{\mu_0}$.
Подставим в это выражение $E=cB$:
$S = \frac{(cB)B}{\mu_0} = c \frac{B^2}{\mu_0}$.
Так как мы показали, что $w = \frac{B^2}{\mu_0}$, то получаем:
$S = cw$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение $S=wc$ доказано.

Утверждение 7. Среднее значение плотности потока энергии $\bar{S}$ связано со средним значением объемной плотности энергии $\bar{w}$ соотношением $\bar{S} = \bar{w}c$.

Поскольку соотношение $S = wc$ справедливо для любого момента времени $t$, то оно будет справедливо и для средних по времени значений этих величин. Усредним обе части равенства $S(t) = w(t)c$ по времени (например, по периоду колебаний). Так как $c$ — константа, ее можно вынести за знак усреднения.
$\bar{S} = \overline{w(t)c} = c \cdot \overline{w(t)} = c\bar{w}$.
Таким образом, утверждение доказано.

Проведем доказательство также путем прямого вычисления средних значений для синусоидальной волны, где $E = E_m \cos(\omega t)$ и $B = B_m \cos(\omega t)$.
Среднее значение объемной плотности энергии:
$\bar{w} = \overline{\varepsilon_0 E^2} = \overline{\varepsilon_0 (E_m \cos(\omega t))^2} = \varepsilon_0 E_m^2 \overline{\cos^2(\omega t)}$.
Среднее значение $\cos^2(\omega t)$ за период равно $1/2$.
$\bar{w} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_m^2$.
Среднее значение модуля вектора Пойнтинга:
$\bar{S} = \overline{\frac{EB}{\mu_0}} = \overline{\frac{(E_m \cos(\omega t))(B_m \cos(\omega t))}{\mu_0}} = \frac{E_m B_m}{\mu_0} \overline{\cos^2(\omega t)}$.
$\bar{S} = \frac{1}{2} \frac{E_m B_m}{\mu_0}$.
Теперь проверим, выполняется ли равенство $\bar{S} = \bar{w}c$.
$\frac{1}{2} \frac{E_m B_m}{\mu_0} = \left(\frac{1}{2} \varepsilon_0 E_m^2\right) c$.
Сократим общие множители $\frac{1}{2}$ и $E_m$:
$\frac{B_m}{\mu_0} = \varepsilon_0 E_m c$.
Используем связь амплитуд $B_m = E_m/c$:
$\frac{E_m/c}{\mu_0} = \varepsilon_0 E_m c$.
$\frac{E_m}{c\mu_0} = \varepsilon_0 E_m c$.
Сократим $E_m$ и перенесем $c\mu_0$ в правую часть:
$1 = c^2 \varepsilon_0 \mu_0$.
Это равенство является определением скорости света в вакууме ($c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}$), следовательно, оно истинно. Таким образом, исходное равенство $\bar{S} = \bar{w}c$ также истинно.
Ответ: Утверждение $\bar{S}=\bar{w}c$ доказано.