Номер 9.44, страница 260 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.44, страница 260.

Условие.

Решите неравенство (9.44–9.50):

9.44 a) $ \sqrt{2x-1} < x-2 $;

б) $ \sqrt{2x+1} < x-1 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt{2x-1} < x-2$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе, так как для существования решения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а правая часть неравенства — строго положительной (поскольку арифметический квадратный корень не может быть меньше отрицательного числа или нуля). После этого можно возвести обе части в квадрат.

Система неравенств выглядит следующим образом:

$$ \begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x - 2 > 0 \\ (\sqrt{2x - 1})^2 < (x - 2)^2 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы:

1. $2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

2. $x - 2 > 0 \implies x > 2$.

3. $2x - 1 < (x - 2)^2 \implies 2x - 1 < x^2 - 4x + 4$.

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < x^2 - 4x - 2x + 4 + 1$

$x^2 - 6x + 5 > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Следовательно, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 6x + 5$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x + 5 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями, то есть $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

Теперь объединим все три условия в одну систему и найдем общее решение:

$$ \begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x > 2 \\ x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty) \end{cases} $$

Из первых двух условий следует, что $x > 2$. Учитывая третье условие, получаем пересечение интервалов $(2, \infty)$ и $((-\infty, 1) \cup (5, \infty))$, что дает нам итоговый результат $x \in (5, \infty)$.

Ответ: $x \in (5, \infty)$.

б) $\sqrt{2x+1} < x-1$

Это неравенство также имеет вид $\sqrt{f(x)} < g(x)$ и решается с помощью аналогичной системы неравенств:

$$ \begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \\ x - 1 > 0 \\ (\sqrt{2x + 1})^2 < (x - 1)^2 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. $2x + 1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{2}$.

2. $x - 1 > 0 \implies x > 1$.

3. $2x + 1 < (x - 1)^2 \implies 2x + 1 < x^2 - 2x + 1$.

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < x^2 - 2x - 2x + 1 - 1$

$x^2 - 4x > 0$

Разложим левую часть на множители: $x(x - 4) > 0$. Корни соответствующего уравнения $x(x-4)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - 4x$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x(x-4)>0$ выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.

Найдем пересечение решений всех трех неравенств:

$$ \begin{cases} x \ge -\frac{1}{2} \\ x > 1 \\ x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty) \end{cases} $$

Из первых двух условий следует, что $x > 1$. Пересекая это решение $(1, \infty)$ с решением третьего неравенства $(-\infty, 0) \cup (4, \infty)$, получаем итоговый интервал $x \in (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (4, \infty)$.