Номер 9.43, страница 260 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.43, страница 260.

Условие.

9.43* Докажите справедливость утверждений 1–5.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для доказательства данных утверждений, которые являются основными свойствами определенного интеграла, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F'(x) = f(x)$, и определением интеграла как предела интегральных сумм. Предполагается, что все функции непрерывны на отрезке интегрирования $[a, b]$.

1.

Докажем, что $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$, где $k$ — постоянная.

Пусть $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$, т.е. $F'(x) = f(x)$. По свойству производной, $(kF(x))' = k F'(x) = kf(x)$. Это значит, что $kF(x)$ является первообразной для $kf(x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница к левой части доказываемого равенства:

$\int_a^b k f(x) dx = kF(b) - kF(a)$.

Теперь рассмотрим правую часть. По определению, $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$. Умножив на $k$, получим:

$k \int_a^b f(x) dx = k(F(b) - F(a)) = kF(b) - kF(a)$.

Так как левая и правая части равны, утверждение доказано.

Ответ: Справедливость утверждения доказана.

2.

Докажем, что $\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$.

Пусть $F(x)$ и $G(x)$ — первообразные для функций $f(x)$ и $g(x)$ соответственно. Тогда $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$. По свойству производной суммы, $(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)$. Значит, $F(x) + G(x)$ — первообразная для $f(x) + g(x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница к левой части:

$\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))$.

Рассмотрим правую часть:

$\int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx = (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))$.

Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим $F(b) + G(b) - F(a) - G(a)$, что совпадает с выражением для левой части.

Ответ: Справедливость утверждения доказана.

3.

Докажем, что $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ для любого $c \in (a, b)$.

Пусть $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. По формуле Ньютона-Лейбница левая часть равна:

$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.

Рассмотрим правую часть:

$\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c))$.

Упростив выражение, получим $F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)$.

Левая и правая части равны, что доказывает свойство аддитивности интеграла.

Ответ: Справедливость утверждения доказана.

4.

Докажем, что если $f(x) \ge 0$ на $[a, b]$, то $\int_a^b f(x) dx \ge 0$.

Доказательство основывается на определении определенного интеграла как предела интегральных сумм Римана. Интегральная сумма $S_n$ для $\int_a^b f(x) dx$ имеет вид $S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$, где $\Delta x_i = x_i - x_{i-1} > 0$ и $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$.

По условию, $f(x) \ge 0$ на $[a, b]$, следовательно, $f(\xi_i) \ge 0$ для любой точки $\xi_i$. Поскольку $\Delta x_i$ также положительна (при $a<b$), каждое слагаемое в сумме $f(\xi_i) \Delta x_i \ge 0$. Сумма неотрицательных слагаемых $S_n$ также неотрицательна.

Определенный интеграл является пределом таких сумм: $\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty, \max \Delta x_i \to 0} S_n$. Предел последовательности неотрицательных чисел не может быть отрицательным. Следовательно, $\int_a^b f(x) dx \ge 0$.

Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции, лежащей над осью абсцисс, неотрицательна.

Ответ: Справедливость утверждения доказана.

5.

Докажем, что если $f(x) \ge g(x)$ на $[a, b]$, то $\int_a^b f(x) dx \ge \int_a^b g(x) dx$.

Рассмотрим новую функцию $h(x) = f(x) - g(x)$. Из условия $f(x) \ge g(x)$ следует, что $h(x) \ge 0$ для всех $x \in [a, b]$.

Используя результат, доказанный в пункте 4, для неотрицательной функции $h(x)$ имеем:

$\int_a^b h(x) dx \ge 0$.

Подставим обратно выражение для $h(x)$:

$\int_a^b (f(x) - g(x)) dx \ge 0$.

Используя свойства линейности интеграла (доказанные в пунктах 1 и 2), преобразуем левую часть:

$\int_a^b f(x) dx - \int_a^b g(x) dx \ge 0$.

Перенеся второй интеграл в правую часть неравенства, получаем требуемое:

$\int_a^b f(x) dx \ge \int_a^b g(x) dx$.

Ответ: Справедливость утверждения доказана.