Номер 9.36, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.36, страница 256.
№9.36 (с. 256)
Условие. №9.36 (с. 256)
скриншот условия

9.36° Какое из неравенств в системе (задание 9.35) можно опустить?
Почему?
Решение 1. №9.36 (с. 256)

Решение 2. №9.36 (с. 256)

Решение 4. №9.36 (с. 256)
Какое из неравенств в системе (задание 9.35) можно опустить?
Для ответа на этот вопрос необходимо сначала составить саму систему неравенств, которая задает треугольник с вершинами в точках A(-2, 1), B(1, 4) и C(3, -2) (согласно заданию 9.35). В минимальной системе, которая точно описывает заданный треугольник как ограниченную область, все неравенства являются необходимыми. Таким образом, ни одно из неравенств опустить нельзя.
Ответ: Ни одно.
Почему?
Обоснование этого вывода состоит из двух шагов: построения системы неравенств и анализа ее свойств.
1. Построение системы неравенств
Система, задающая треугольник, формируется из трех линейных неравенств. Каждое неравенство соответствует полуплоскости, ограниченной прямой, содержащей одну из сторон треугольника. Треугольник является пересечением (общей областью) этих трех полуплоскостей.
- Сторона AB (точки A(-2, 1) и B(1, 4)): Уравнение прямой, проходящей через эти точки, находится по формуле: $ \frac{y - y_A}{y_B - y_A} = \frac{x - x_A}{x_B - x_A} \Rightarrow \frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{x - (-2)}{1 - (-2)} \Rightarrow \frac{y - 1}{3} = \frac{x + 2}{3} $. Упрощая, получаем: $y - 1 = x + 2$, или $x - y + 3 = 0$. Для определения знака неравенства используем координаты третьей вершины C(3, -2), которая должна лежать в нужной полуплоскости: $3 - (-2) + 3 = 8$. Так как $8 > 0$, первое неравенство системы: $x - y + 3 \ge 0$.
- Сторона BC (точки B(1, 4) и C(3, -2)): Уравнение прямой: $ \frac{y - y_B}{y_C - y_B} = \frac{x - x_B}{x_C - x_B} \Rightarrow \frac{y - 4}{-2 - 4} = \frac{x - 1}{3 - 1} \Rightarrow \frac{y - 4}{-6} = \frac{x - 1}{2} $. Упрощая, получаем: $y - 4 = -3(x - 1)$, или $3x + y - 7 = 0$. Подставляем координаты вершины A(-2, 1): $3(-2) + 1 - 7 = -12$. Так как $-12 < 0$, второе неравенство: $3x + y - 7 \le 0$.
- Сторона AC (точки A(-2, 1) и C(3, -2)): Уравнение прямой: $ \frac{y - y_A}{y_C - y_A} = \frac{x - x_A}{x_C - x_A} \Rightarrow \frac{y - 1}{-2 - 1} = \frac{x - (-2)}{3 - (-2)} \Rightarrow \frac{y - 1}{-3} = \frac{x + 2}{5} $. Упрощая, получаем: $5(y - 1) = -3(x + 2)$, или $3x + 5y + 1 = 0$. Подставляем координаты вершины B(1, 4): $3(1) + 5(4) + 1 = 24$. Так как $24 > 0$, третье неравенство: $3x + 5y + 1 \ge 0$.
Таким образом, искомая система неравенств, задающая треугольник ABC, имеет вид:
$$ \begin{cases} x - y + 3 \ge 0 \\ 3x + y - 7 \le 0 \\ 3x + 5y + 1 \ge 0 \end{cases} $$2. Анализ необходимости каждого неравенства
Геометрически, решение данной системы — это пересечение трех полуплоскостей. Это пересечение является ограниченной выпуклой областью — треугольником ABC.
Рассмотрим, что произойдет, если мы опустим (удалим) одно из неравенств. Например, если убрать первое неравенство $x - y + 3 \ge 0$, останется система из двух неравенств:$$ \begin{cases} 3x + y - 7 \le 0 \\ 3x + 5y + 1 \ge 0 \end{cases} $$Решением этой системы является пересечение двух полуплоскостей, которое представляет собой бесконечную область (угол) с вершиной в точке C(3, -2) (точка пересечения прямых $3x + y - 7 = 0$ и $3x + 5y + 1 = 0$). Эта область не является треугольником.
Аналогично, удаление любого другого неравенства приведет к тому, что решением станет бесконечный угол с вершиной в A или B. Следовательно, каждое из трех неравенств является критически важным для определения именно ограниченной фигуры — треугольника. Ни одно из них не является избыточным.
Формулировка вопроса "Какое из неравенств...", вероятно, является проверкой на понимание того, что для определения замкнутого многоугольника необходимо использовать все неравенства, соответствующие его сторонам.
Ответ: Потому что система, состоящая из трех неравенств, является минимально необходимой для определения ограниченной фигуры (треугольника) как пересечения полуплоскостей. Удаление любого из неравенств превращает решение из ограниченного треугольника в неограниченную область (угол), что противоречит цели задания — описать треугольник.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 9.36 расположенного на странице 256 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.36 (с. 256), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.