Номер 9.36, страница 256 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.36, страница 256.

Условие.

9.36° Какое из неравенств в системе (задание 9.35) можно опустить?

Почему?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Какое из неравенств в системе (задание 9.35) можно опустить?

Для ответа на этот вопрос необходимо сначала составить саму систему неравенств, которая задает треугольник с вершинами в точках A(-2, 1), B(1, 4) и C(3, -2) (согласно заданию 9.35). В минимальной системе, которая точно описывает заданный треугольник как ограниченную область, все неравенства являются необходимыми. Таким образом, ни одно из неравенств опустить нельзя.

Ответ: Ни одно.

Почему?

Обоснование этого вывода состоит из двух шагов: построения системы неравенств и анализа ее свойств.

1. Построение системы неравенств

Система, задающая треугольник, формируется из трех линейных неравенств. Каждое неравенство соответствует полуплоскости, ограниченной прямой, содержащей одну из сторон треугольника. Треугольник является пересечением (общей областью) этих трех полуплоскостей.

• Сторона AB (точки A(-2, 1) и B(1, 4)): Уравнение прямой, проходящей через эти точки, находится по формуле: $ \frac{y - y_A}{y_B - y_A} = \frac{x - x_A}{x_B - x_A} \Rightarrow \frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{x - (-2)}{1 - (-2)} \Rightarrow \frac{y - 1}{3} = \frac{x + 2}{3} $. Упрощая, получаем: $y - 1 = x + 2$, или $x - y + 3 = 0$. Для определения знака неравенства используем координаты третьей вершины C(3, -2), которая должна лежать в нужной полуплоскости: $3 - (-2) + 3 = 8$. Так как $8 > 0$, первое неравенство системы: $x - y + 3 \ge 0$.
• Сторона BC (точки B(1, 4) и C(3, -2)): Уравнение прямой: $ \frac{y - y_B}{y_C - y_B} = \frac{x - x_B}{x_C - x_B} \Rightarrow \frac{y - 4}{-2 - 4} = \frac{x - 1}{3 - 1} \Rightarrow \frac{y - 4}{-6} = \frac{x - 1}{2} $. Упрощая, получаем: $y - 4 = -3(x - 1)$, или $3x + y - 7 = 0$. Подставляем координаты вершины A(-2, 1): $3(-2) + 1 - 7 = -12$. Так как $-12 < 0$, второе неравенство: $3x + y - 7 \le 0$.
• Сторона AC (точки A(-2, 1) и C(3, -2)): Уравнение прямой: $ \frac{y - y_A}{y_C - y_A} = \frac{x - x_A}{x_C - x_A} \Rightarrow \frac{y - 1}{-2 - 1} = \frac{x - (-2)}{3 - (-2)} \Rightarrow \frac{y - 1}{-3} = \frac{x + 2}{5} $. Упрощая, получаем: $5(y - 1) = -3(x + 2)$, или $3x + 5y + 1 = 0$. Подставляем координаты вершины B(1, 4): $3(1) + 5(4) + 1 = 24$. Так как $24 > 0$, третье неравенство: $3x + 5y + 1 \ge 0$.

Таким образом, искомая система неравенств, задающая треугольник ABC, имеет вид:

$$ \begin{cases} x - y + 3 \ge 0 \\ 3x + y - 7 \le 0 \\ 3x + 5y + 1 \ge 0 \end{cases} $$

2. Анализ необходимости каждого неравенства

Геометрически, решение данной системы — это пересечение трех полуплоскостей. Это пересечение является ограниченной выпуклой областью — треугольником ABC.

Рассмотрим, что произойдет, если мы опустим (удалим) одно из неравенств. Например, если убрать первое неравенство $x - y + 3 \ge 0$, останется система из двух неравенств:$$ \begin{cases} 3x + y - 7 \le 0 \\ 3x + 5y + 1 \ge 0 \end{cases} $$Решением этой системы является пересечение двух полуплоскостей, которое представляет собой бесконечную область (угол) с вершиной в точке C(3, -2) (точка пересечения прямых $3x + y - 7 = 0$ и $3x + 5y + 1 = 0$). Эта область не является треугольником.

Аналогично, удаление любого другого неравенства приведет к тому, что решением станет бесконечный угол с вершиной в A или B. Следовательно, каждое из трех неравенств является критически важным для определения именно ограниченной фигуры — треугольника. Ни одно из них не является избыточным.

Формулировка вопроса "Какое из неравенств...", вероятно, является проверкой на понимание того, что для определения замкнутого многоугольника необходимо использовать все неравенства, соответствующие его сторонам.

Ответ: Потому что система, состоящая из трех неравенств, является минимально необходимой для определения ограниченной фигуры (треугольника) как пересечения полуплоскостей. Удаление любого из неравенств превращает решение из ограниченного треугольника в неограниченную область (угол), что противоречит цели задания — описать треугольник.