Номер 9.29, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.29, страница 252.

Условие.

9.29* a) $\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2} = \sqrt{2x};$

Б) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} = \sqrt{2x+1};$

В) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-3} = \sqrt{2x};$

Г) $\sqrt{x+2} + \sqrt{x-3} = \sqrt{2x-1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2} = \sqrt{2x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
$2x \ge 0 \implies x \ge 0$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 2$.

На ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$(\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2})^2 = (\sqrt{2x})^2$
$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(x-2)} + (x-2) = 2x$
$2x + 2\sqrt{x^2 - 4} = 2x$
Вычтем $2x$ из обеих частей:
$2\sqrt{x^2 - 4} = 0$
$\sqrt{x^2 - 4} = 0$
$x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
Получаем корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x \ge 2$).
Корень $x = 2$ удовлетворяет условию.
Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним.

Ответ: $x=2$.

б) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} = \sqrt{2x+1}$

Найдем ОДЗ:
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
$2x+1 \ge 0 \implies x \ge -0.5$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2})^2 = (\sqrt{2x+1})^2$
$(x+3) + 2\sqrt{(x+3)(x-2)} + (x-2) = 2x+1$
$2x+1 + 2\sqrt{x^2 + x - 6} = 2x+1$
$2\sqrt{x^2 + x - 6} = 0$
$\sqrt{x^2 + x - 6} = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x \ge 2$).
Корень $x = 2$ удовлетворяет условию.
Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $x=2$.

в) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-3} = \sqrt{2x}$

Найдем ОДЗ:
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$
$2x \ge 0 \implies x \ge 0$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+3} + \sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{2x})^2$
$(x+3) + 2\sqrt{(x+3)(x-3)} + (x-3) = 2x$
$2x + 2\sqrt{x^2 - 9} = 2x$
$2\sqrt{x^2 - 9} = 0$
$x^2 - 9 = 0$
$x^2 = 9$
Получаем корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x \ge 3$).
Корень $x = 3$ удовлетворяет условию.
Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $x=3$.

г) $\sqrt{x+2} + \sqrt{x-3} = \sqrt{2x-1}$

Найдем ОДЗ:
$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$
$2x-1 \ge 0 \implies x \ge 0.5$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+2} + \sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{2x-1})^2$
$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(x-3)} + (x-3) = 2x-1$
$2x-1 + 2\sqrt{x^2 - x - 6} = 2x-1$
$2\sqrt{x^2 - x - 6} = 0$
$x^2 - x - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($x \ge 3$).
Корень $x = 3$ удовлетворяет условию.
Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $x=3$.