Номер 9.25, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.25, страница 252.

Условие.

9.25* Докажите, что равносильны уравнение и совокупность двух систем:

а) $|f(x)| = g(x)$; $\begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$ и $\begin{cases} f(x) = -g(x) \\ g(x) \ge 0; \end{cases}$

б) $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = \sqrt{f(x) + g(x)}$; $\begin{cases} f(x) = 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$ и $\begin{cases} g(x) = 0 \\ f(x) \ge 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Требуется доказать, что уравнение $|f(x)| = g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} f(x) = -g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases} \end{array} \right. $

Для доказательства равносильности покажем, что любое решение уравнения является решением совокупности, и любое решение совокупности является решением уравнения.

1. Докажем, что решение уравнения является решением совокупности.

Пусть $x_0$ — корень уравнения $|f(x)| = g(x)$. Это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение получается верное числовое равенство: $|f(x_0)| = g(x_0)$.

По определению модуля, значение $|f(x_0)|$ всегда неотрицательно, то есть $|f(x_0)| \ge 0$. Из равенства следует, что и правая часть должна быть неотрицательной: $g(x_0) \ge 0$.

Также по определению модуля, равенство $|a| = b$ возможно в двух случаях: $a = b$ или $a = -b$. Применительно к нашему уравнению это означает, что должно выполняться одно из двух равенств: $f(x_0) = g(x_0)$ или $f(x_0) = -g(x_0)$.

Таким образом, для любого корня $x_0$ исходного уравнения одновременно выполняются условия:

($g(x_0) \ge 0$ и $f(x_0) = g(x_0)$) ИЛИ ($g(x_0) \ge 0$ и $f(x_0) = -g(x_0)$).

Это в точности означает, что $x_0$ является решением одной из двух систем в совокупности.

2. Докажем, что решение совокупности является решением уравнения.

Пусть $x_0$ — решение совокупности. Это означает, что $x_0$ является решением как минимум одной из двух систем.

Случай 1: $x_0$ является решением первой системы $\begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$.

Тогда $f(x_0) = g(x_0)$ и $g(x_0) \ge 0$. Из этих двух условий следует, что $f(x_0) \ge 0$. Для неотрицательных значений $f(x_0)$ модуль раскрывается как $|f(x_0)| = f(x_0)$. Так как $f(x_0) = g(x_0)$, то, подставив это в выражение для модуля, получаем $|f(x_0)| = g(x_0)$. Следовательно, $x_0$ — корень исходного уравнения.

Случай 2: $x_0$ является решением второй системы $\begin{cases} f(x) = -g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$.

Тогда $f(x_0) = -g(x_0)$ и $g(x_0) \ge 0$. Из условия $g(x_0) \ge 0$ следует, что $-g(x_0) \le 0$, а значит $f(x_0) \le 0$. Для неположительных значений $f(x_0)$ модуль раскрывается как $|f(x_0)| = -f(x_0)$. Подставим в это равенство $f(x_0) = -g(x_0)$: $|f(x_0)| = -(-g(x_0)) = g(x_0)$. Следовательно, $x_0$ — корень исходного уравнения.

Поскольку множества решений уравнения и совокупности систем полностью совпадают, они равносильны.

Ответ: Равносильность доказана.

---

б)

Требуется доказать, что уравнение $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = \sqrt{f(x) + g(x)}$ равносильно совокупности двух систем: $ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} f(x) = 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) = 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \end{array} \right. $

Начнем с нахождения области допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) + g(x) \ge 0 \end{cases} $

Если первые два неравенства $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$ выполнены, то их сумма $f(x) + g(x)$ также будет неотрицательной. Таким образом, третье неравенство является следствием первых двух, и ОДЗ можно записать в виде системы: $ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $

Теперь решим уравнение на его ОДЗ. Поскольку обе части уравнения $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = \sqrt{f(x) + g(x)}$ неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не рискуя получить посторонние корни.

$(\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)})^2 = (\sqrt{f(x) + g(x)})^2$

$f(x) + 2\sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)} + g(x) = f(x) + g(x)$

Вычтем из обеих частей $f(x) + g(x)$:

$2\sqrt{f(x)g(x)} = 0$

$\sqrt{f(x)g(x)} = 0$

Возведя в квадрат еще раз, получаем:

$f(x)g(x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть $f(x) = 0$ или $g(x) = 0$.

Итак, для нахождения решений исходного уравнения мы должны совместить полученное условие $f(x)g(x) = 0$ с ОДЗ. Это равносильно решению системы: $ \begin{cases} f(x)g(x) = 0 \\ f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $

Данная система эквивалентна совокупности двух систем (рассматриваем случаи $f(x)=0$ и $g(x)=0$):

1. Если $f(x) = 0$, то система принимает вид: $ \begin{cases} f(x) = 0 \\ 0 \ge 0 \text{ (верно)} \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $, что упрощается до $\begin{cases} f(x) = 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$.

2. Если $g(x) = 0$, то система принимает вид: $ \begin{cases} g(x) = 0 \\ f(x) \ge 0 \\ 0 \ge 0 \text{ (верно)} \end{cases} $, что упрощается до $\begin{cases} g(x) = 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$.

Таким образом, мы показали, что исходное уравнение равносильно совокупности этих двух систем.

Ответ: Равносильность доказана.