Номер 9.27, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.27, страница 252.

Условие.

9.27* a) $\log_x (2x^2 - 2x - 3) = 2;$

б) $\log_x (x^3 - 5x + 7) = 3;$

в) $\log_x (x + 2) = 2;$

г) $\log_x (x + 6) = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Исходное уравнение: $\log_x(2x^2 - 2x - 3) = 2$.
По определению логарифма, данное уравнение равносильно системе, в которой основание логарифма $x > 0$ и $x \neq 1$ , а аргумент логарифма $2x^2 - 2x - 3 > 0$ . Преобразуем логарифмическое уравнение в показательное:
$2x^2 - 2x - 3 = x^2$
Соберем все члены в левой части уравнения:
$2x^2 - x^2 - 2x - 3 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Корни:
$x_1 = 3$ и $x_2 = -1$ .
Теперь выполним проверку найденных корней на соответствие области допустимых значений (ОДЗ).
Проверка для $x_1 = 3$ :
1. $x > 0 \implies 3 > 0$ (верно).
2. $x \neq 1 \implies 3 \neq 1$ (верно).
3. $2x^2 - 2x - 3 > 0 \implies 2(3)^2 - 2(3) - 3 = 2 \cdot 9 - 6 - 3 = 18 - 9 = 9 > 0$ (верно).
Корень $x = 3$ удовлетворяет всем условиям.
Проверка для $x_2 = -1$ :
1. $x > 0 \implies -1 > 0$ (неверно).
Корень $x = -1$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.
Ответ: 3

б) Исходное уравнение: $\log_x(x^3 - 5x + 7) = 3$.
По определению логарифма, уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^3 = x^3 - 5x + 7 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $
(Условие на положительность аргумента $x^3 - 5x + 7 > 0$ будет проверено после нахождения корня).
Решим первое уравнение системы:
$x^3 = x^3 - 5x + 7$
$0 = -5x + 7$
$5x = 7$
$x = \frac{7}{5} = 1,4$
Проверим найденный корень на соответствие ОДЗ.
1. $x > 0 \implies 1,4 > 0$ (верно).
2. $x \neq 1 \implies 1,4 \neq 1$ (верно).
3. Проверим условие $x^3 - 5x + 7 > 0$ . Из первого уравнения системы мы знаем, что $x^3 - 5x + 7 = x^3$ . Так как $x=1,4 > 0$ , то и $x^3 = (1,4)^3 > 0$ , следовательно, условие выполняется.
Корень $x = 1,4$ удовлетворяет всем условиям.
Ответ: 1,4

в) Исходное уравнение: $\log_x(x + 2) = 2$.
По определению логарифма, уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 = x + 2 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $
(Условие $x + 2 > 0$ выполняется автоматически, так как $x + 2 = x^2$ , а $x^2 > 0$ для любого $x > 0$ ).
Решим первое уравнение системы:
$x^2 - x - 2 = 0$
Корни квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$ .
Проверим корни на соответствие условиям $x > 0$ и $x \neq 1$ .
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет обоим условиям ( $2 > 0$ и $2 \neq 1$ ).
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x > 0$ , поэтому является посторонним.
Ответ: 2

г) Исходное уравнение: $\log_x(x + 6) = 2$.
По определению логарифма, уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 = x + 6 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $
(Условие $x + 6 > 0$ выполняется автоматически, так как $x + 6 = x^2$ , а $x^2 > 0$ для любого $x > 0$ ).
Решим первое уравнение системы:
$x^2 - x - 6 = 0$
Корни квадратного уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$ .
Проверяем корни на соответствие условиям $x > 0$ и $x \neq 1$ .
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет обоим условиям ( $3 > 0$ и $3 \neq 1$ ).
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x > 0$ , поэтому является посторонним.
Ответ: 3