Номер 9.23, страница 252 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.23, страница 252.

Условие.

9.23 а) $\frac{\sin 2x}{x} = 0;$

б) $\frac{\sin 2x}{\sin x} + \frac{\cos 2x}{\cos x} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Исходное уравнение: $ \frac{\sin 2x}{x} = 0 $.

Дробное уравнение равно нулю в том и только в том случае, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Условие равенства числителя нулю:

$ \sin 2x = 0 $

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его общее решение имеет вид:

$ 2x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ ( $ \mathbb{Z} $ – множество всех целых чисел).

Выразим $x$:

$ x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. Условие отличия знаменателя от нуля (область допустимых значений, ОДЗ):

$ x \neq 0 $.

3. Совместим полученное решение с ОДЗ. Необходимо исключить из множества корней $ x = \frac{\pi n}{2} $ те значения, при которых $ x = 0 $.

Равенство $ \frac{\pi n}{2} = 0 $ выполняется при $ n = 0 $.

Следовательно, значение $ n = 0 $ нужно исключить из решения.

В итоге получаем, что решением уравнения являются все числа вида $ x = \frac{\pi n}{2} $ для любого целого $ n $, кроме нуля.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, \; n \in \mathbb{Z}, \; n \neq 0 $.

б) Исходное уравнение: $ \frac{\sin 2x}{\sin x} + \frac{\cos 2x}{\cos x} = 0 $.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны обращаться в ноль:

$ \sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, \; k \in \mathbb{Z} $

$ \cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, \; m \in \mathbb{Z} $

Объединяя эти два условия, получаем, что $ x \neq \frac{\pi n}{2} $ для любого целого $ n $.

2. На ОДЗ приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$ \frac{\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x}{\sin x \cos x} = 0 $

3. В числителе дроби видим формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.

Применив ее, получаем:

$ \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = \sin(2x + x) = \sin(3x) $

4. Уравнение принимает вид:

$ \frac{\sin(3x)}{\sin x \cos x} = 0 $

Это уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \sin(3x) = 0 \\ \sin x \cos x \neq 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ \sin(3x) = 0 $

$ 3x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

5. Теперь из найденных решений $ x = \frac{\pi n}{3} $ отберем те, которые удовлетворяют ОДЗ, то есть $ x \neq \frac{\pi k}{2} $.

Для этого найдем, при каких целых $ n $ и $ k $ выполняется равенство:

$ \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi k}{2} $

$ \frac{n}{3} = \frac{k}{2} \implies 2n = 3k $

Так как числа 2 и 3 взаимно простые, это равенство возможно только в том случае, если $ n $ кратно 3 (т.е. $ n = 3j $ для некоторого $ j \in \mathbb{Z} $). Если $ n $ кратно 3, то $ x = \frac{\pi (3j)}{3} = \pi j $, что является недопустимым значением согласно ОДЗ.

Следовательно, из серии решений $ x = \frac{\pi n}{3} $ необходимо исключить все значения, где $ n $ делится на 3.

Это означает, что подходят только те $ n $, которые при делении на 3 дают в остатке 1 или 2.

• Если $ n = 3k+1 $, то $ x = \frac{\pi(3k+1)}{3} = \pi k + \frac{\pi}{3} $.
• Если $ n = 3k+2 $, то $ x = \frac{\pi(3k+2)}{3} = \pi k + \frac{2\pi}{3} $.

Эти две серии решений можно объединить в одну более компактную форму. Заметим, что $ \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} $. Тогда вторая серия $ x = \pi k + \pi - \frac{\pi}{3} = \pi(k+1) - \frac{\pi}{3} $. Поскольку $ k $ пробегает все целые числа, $ k+1 $ также пробегает все целые числа. Таким образом, обе серии можно записать как $ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k $.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z} $.