Номер 9.19, страница 251 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам - номер 9.19, страница 251.

Условие.

9.19 a) $( \cos 2x - 3 \cos x - 1 ) \sqrt{\log_{\frac{1}{3}}(x - 2) + 2} = 0;$

б) $( \cos 2x + 7 \cos x + 4 ) \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) + 1} = 0;$

в) $( 4^{4 - x} - 2^{x - 1} ) \log_2 x = 0;$ г) $( 4^{5 - x} - 2^{x - 1} ) \log_3 x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $(\cos 2x - 3\cos x - 1) \sqrt{\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 2} = 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — строго положительным.

Система неравенств для ОДЗ:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 2 \ge 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства получаем $x > 2$.

Решим первое неравенство:

$\log_{\frac{1}{3}}(x-2) \ge -2$

Так как основание логарифма $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 2 \le \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$

$x - 2 \le 3^2$

$x - 2 \le 9$

$x \le 11$

Объединяя условия $x > 2$ и $x \le 11$, получаем ОДЗ: $x \in (2, 11]$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (т.е. значение $x$ входит в ОДЗ).

Случай 1. $\sqrt{\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 2} = 0$.

Возводим обе части в квадрат:

$\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 2 = 0$

$\log_{\frac{1}{3}}(x-2) = -2$

$x-2 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$

$x-2 = 9$

$x = 11$.

Значение $x=11$ принадлежит ОДЗ.

Случай 2. $\cos 2x - 3\cos x - 1 = 0$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$(2\cos^2 x - 1) - 3\cos x - 1 = 0$

$2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0$.

Пусть $t = \cos x$, причем $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t - 2 = 0$.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$t_{1} = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_{2} = \frac{3+5}{4} = 2$ (посторонний корень, так как $|\cos x| \le 1$).

Возвращаемся к замене: $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Общее решение: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь отберем корни, попадающие в интервал $(2, 11]$. Используем $\pi \approx 3.14$.

Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• при $k=0$: $x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09$. $2 < 2.09 \le 11$. Подходит.
• при $k=1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 8.38$. $2 < 8.38 \le 11$. Подходит.

Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• при $k=1$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19$. $2 < 4.19 \le 11$. Подходит.
• при $k=2$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \approx 10.47$. $2 < 10.47 \le 11$. Подходит.

Объединяем все найденные корни.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}, 11$.

---

б) $(\cos 2x + 7\cos x + 4) \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-3) + 1} = 0$

ОДЗ определяется системой:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}(x-3) + 1 \ge 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства: $x > 3$.

Решаем первое неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}}(x-3) \ge -1$.

Так как основание $\frac{1}{2} < 1$, знак неравенства меняется:

$x - 3 \le \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$

$x - 3 \le 2 \implies x \le 5$.

ОДЗ: $x \in (3, 5]$.

Случай 1. $\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-3) + 1} = 0$.

$\log_{\frac{1}{2}}(x-3) = -1 \implies x-3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \implies x = 5$.

Корень $x=5$ входит в ОДЗ.

Случай 2. $\cos 2x + 7\cos x + 4 = 0$.

$2\cos^2 x - 1 + 7\cos x + 4 = 0$

$2\cos^2 x + 7\cos x + 3 = 0$.

Замена $t = \cos x$, $|t| \le 1$.

$2t^2 + 7t + 3 = 0$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.

$t_{1} = \frac{-7-5}{4} = -3$ (посторонний корень).

$t_{2} = \frac{-7+5}{4} = -\frac{1}{2}$.

$\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Отбираем корни из промежутка $(3, 5]$.

Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=0$, $x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09 < 3$. Другие $k$ тоже не подходят.

Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=1$, $x = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19$. $3 < 4.19 \le 5$. Подходит.

Ответ: $\frac{4\pi}{3}, 5$.

---

в) $(4^{4-x} - 2^{x-1}) \log_2 x = 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1. $\log_2 x = 0$.

$x = 2^0 = 1$. Корень $x=1$ входит в ОДЗ.

Случай 2. $4^{4-x} - 2^{x-1} = 0$.

$4^{4-x} = 2^{x-1}$

$(2^2)^{4-x} = 2^{x-1}$

$2^{8-2x} = 2^{x-1}$.

Приравниваем показатели:

$8-2x = x-1$

$9 = 3x$

$x = 3$. Корень $x=3$ входит в ОДЗ.

Ответ: $1, 3$.

---

г) $(4^{5-x} - 2^{x-1}) \log_3 x = 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Случай 1. $\log_3 x = 0$.

$x = 3^0 = 1$. Корень $x=1$ входит в ОДЗ.

Случай 2. $4^{5-x} - 2^{x-1} = 0$.

$4^{5-x} = 2^{x-1}$

$(2^2)^{5-x} = 2^{x-1}$

$2^{10-2x} = 2^{x-1}$.

Приравниваем показатели:

$10-2x = x-1$

$11 = 3x$

$x = \frac{11}{3}$. Корень $x=\frac{11}{3}$ входит в ОДЗ.

Ответ: $1, \frac{11}{3}$.