Номер 9.13, страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 9.13, страница 246.

Условие.

9.13 а) $lg(x^2 - 17) = lg(11x - 45)$;

б) $lg(x^2 - 7x + 14) = lg(3x - 16)$;

в) $lg(25 - x^2) = lg(2x - 10)$;

г) $lg(x^2 - 5x - 24) = lg(8 - x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $lg(x^2 - 17) = lg(11x - 45)$

Уравнение вида $lg(f(x)) = lg(g(x))$ равносильно системе, в которой приравниваются аргументы логарифмов и накладывается условие, что один из аргументов (а значит и оба) должен быть строго больше нуля. Выберем более простое для проверки неравенство.

$ \begin{cases} x^2 - 17 = 11x - 45 \\ 11x - 45 > 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение системы:

$x^2 - 11x - 17 + 45 = 0$

$x^2 - 11x + 28 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета:

$x_1 + x_2 = 11$

$x_1 \cdot x_2 = 28$

Корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = 7$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни неравенству $11x - 45 > 0$, то есть $11x > 45$, или $x > \frac{45}{11}$ ($x > 4\frac{1}{11}$).

При $x_1 = 4$: $4 < 4\frac{1}{11}$, корень не удовлетворяет условию области определения.

При $x_2 = 7$: $7 > 4\frac{1}{11}$, корень удовлетворяет условию.

Ответ: $7$

б) $lg(x^2 - 7x + 14) = lg(3x - 16)$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 7x + 14 = 3x - 16 \\ 3x - 16 > 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение:

$x^2 - 7x - 3x + 14 + 16 = 0$

$x^2 - 10x + 30 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 100 - 120 = -20$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное логарифмическое уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет

в) $lg(25 - x^2) = lg(2x - 10)$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 25 - x^2 = 2x - 10 \\ 2x - 10 > 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение:

$x^2 + 2x - 10 - 25 = 0$

$x^2 + 2x - 35 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -35$

Корни уравнения: $x_1 = 5$, $x_2 = -7$.

Проверим корни по условию $2x - 10 > 0$, то есть $2x > 10$, или $x > 5$.

При $x_1 = 5$: $5$ не больше $5$, условие $x > 5$ не выполняется.

При $x_2 = -7$: $-7 < 5$, условие $x > 5$ не выполняется.

Оба корня являются посторонними, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет

г) $lg(x^2 - 5x - 24) = lg(8 - x)$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 5x - 24 = 8 - x \\ 8 - x > 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение:

$x^2 - 5x + x - 24 - 8 = 0$

$x^2 - 4x - 32 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = -32$

Корни уравнения: $x_1 = 8$, $x_2 = -4$.

Проверим корни по условию $8 - x > 0$, то есть $x < 8$.

При $x_1 = 8$: $8$ не меньше $8$, условие $x < 8$ не выполняется.

При $x_2 = -4$: $-4 < 8$, корень удовлетворяет условию.

Ответ: $-4$