Страница 246 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

9.8* Докажите справедливость утверждений 1–4.

Для доказательства всех четырех утверждений воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона).

1

Уравнение состояния идеального газа для произвольной массы $m$ газа с молярной массой $M$ имеет вид:$pV = \frac{m}{M}RT$,где $p$ – давление, $V$ – объем, $T$ – абсолютная температура, а $R$ – универсальная газовая постоянная.

Согласно условию, мы рассматриваем "данную массу газа", что означает, что масса $m$ постоянна ($m = \text{const}$). Молярная масса $M$ для определенного вида газа также является постоянной величиной. Универсальная газовая постоянная $R$ является фундаментальной физической константой.

Следовательно, для данной массы газа вся правая часть уравнения, деленная на $T$, является постоянной величиной:$\frac{m}{M}R = \text{const}$.

Перепишем уравнение состояния, разделив обе части на температуру $T$:$\frac{pV}{T} = \frac{m}{M}R$.

Поскольку правая часть этого равенства постоянна, то и левая его часть также является постоянной величиной. Таким образом, для данной массы газа справедливо соотношение $\frac{pV}{T} = \text{const}$.
Ответ: справедливость утверждения о том, что для данной массы газа отношение $\frac{pV}{T}$ остается постоянным, доказана.

2

Изотермический процесс – это процесс, протекающий при постоянной температуре ($T = \text{const}$).Воспользуемся результатом, полученным в пункте 1:$\frac{pV}{T} = \text{const}$.

Так как в изотермическом процессе температура $T$ постоянна, мы можем умножить обе части уравнения на $T$:$pV = \text{const} \cdot T$.

Поскольку произведение двух постоянных величин ($\text{const}$ и $T$) также является постоянной величиной, мы получаем:$pV = \text{const'}$.Это соотношение известно как закон Бойля–Мариотта.
Ответ: справедливость утверждения о том, что при изотермическом процессе для данной массы газа произведение $pV$ остается постоянным, доказана.

3

Изобарный процесс – это процесс, протекающий при постоянном давлении ($p = \text{const}$).Снова обратимся к объединенному газовому закону из пункта 1:$\frac{pV}{T} = \text{const}$.

При постоянном давлении $p$ мы можем преобразовать это уравнение, разделив обе части на $p$:$\frac{V}{T} = \frac{\text{const}}{p}$.

Так как частное двух постоянных величин ($\text{const}$ и $p$) также является постоянной величиной, получаем:$\frac{V}{T} = \text{const''}$.Это соотношение известно как закон Гей-Люссака.
Ответ: справедливость утверждения о том, что при изобарном процессе для данной массы газа отношение $V/T$ остается постоянным, доказана.

4

Изохорный процесс – это процесс, протекающий при постоянном объеме ($V = \text{const}$).Используем тот же исходный результат:$\frac{pV}{T} = \text{const}$.

При постоянном объеме $V$ мы можем переписать уравнение следующим образом:$\frac{p}{T} = \frac{\text{const}}{V}$.

Поскольку частное двух постоянных величин ($\text{const}$ и $V$) снова является постоянной величиной, мы приходим к выводу:$\frac{p}{T} = \text{const'''}$.Это соотношение известно как закон Шарля.
Ответ: справедливость утверждения о том, что при изохорном процессе для данной массы газа отношение $p/T$ остается постоянным, доказана.

Решите уравнение (9.9–9.14):

9.9 а) $ \sqrt{2x+1} = x-1; $

б) $ \sqrt{2x-1} = x-2; $

в) $ \sqrt{147-2x} = x-2; $

г) $ \sqrt{-8x+108} = x-3. $

а) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2x+1} = x-1$.
Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться два условия: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, которой равен арифметический квадратный корень, также должна быть неотрицательной. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases}$
Решим эту систему:
$\begin{cases} 2x \ge -1 \\ x \ge 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -0.5 \\ x \ge 1 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x \ge 1$. Это и есть ОДЗ нашего уравнения.
Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:
$(\sqrt{2x+1})^2 = (x-1)^2$
$2x+1 = x^2 - 2x + 1$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - 2x + 1 - 1 = 0$
$x^2 - 4x = 0$
Решим это неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(x-4) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Сравним полученные корни с ОДЗ ($x \ge 1$):
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$, значит, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет условию $x \ge 1$, значит, это потенциальное решение.
Выполним проверку, подставив $x=4$ в исходное уравнение:
$\sqrt{2(4)+1} = \sqrt{9} = 3$
$4-1 = 3$
Так как $3 = 3$, равенство верное.
Ответ: $4$

б) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2x-1} = x-2$.
Найдем ОДЗ. Условия:
$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x \ge 1 \\ x \ge 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 0.5 \\ x \ge 2 \end{cases}$
Общим решением системы является $x \ge 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x-1})^2 = (x-2)^2$
$2x-1 = x^2 - 4x + 4$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 4x - 2x + 4 + 1 = 0$
$x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $5$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge 2$):
Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, является посторонним.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Проверим корень $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{2(5)-1} = \sqrt{9} = 3$
$5-2 = 3$
Равенство $3 = 3$ верное.
Ответ: $5$

в) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{147-2x} = x-2$.
Найдем ОДЗ из системы неравенств:
$\begin{cases} 147-2x \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 147 \ge 2x \\ x \ge 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 73.5 \\ x \ge 2 \end{cases}$
ОДЗ: $2 \le x \le 73.5$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{147-2x})^2 = (x-2)^2$
$147-2x = x^2 - 4x + 4$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 4x + 2x + 4 - 147 = 0$
$x^2 - 2x - 143 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-143) = 4 + 572 = 576 = 24^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 24}{2}$
$x_1 = \frac{2-24}{2} = \frac{-22}{2} = -11$
$x_2 = \frac{2+24}{2} = \frac{26}{2} = 13$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($2 \le x \le 73.5$):
Корень $x_1 = -11$ не входит в ОДЗ, так как $-11 < 2$. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = 13$ входит в ОДЗ, так как $2 \le 13 \le 73.5$.
Проверка для $x=13$:
$\sqrt{147-2(13)} = \sqrt{147-26} = \sqrt{121} = 11$
$13-2 = 11$
Равенство $11 = 11$ верное.
Ответ: $13$

г) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{-8x+108} = x-3$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} -8x+108 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 108 \ge 8x \\ x \ge 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 13.5 \\ x \ge 3 \end{cases}$
ОДЗ: $3 \le x \le 13.5$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{-8x+108})^2 = (x-3)^2$
$-8x+108 = x^2 - 6x + 9$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 6x + 8x + 9 - 108 = 0$
$x^2 + 2x - 99 = 0$
Решим по теореме Виета: сумма корней равна $-2$, произведение равно $-99$. Корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -11$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($3 \le x \le 13.5$):
Корень $x_2 = -11$ не входит в ОДЗ, так как $-11 < 3$. Это посторонний корень.
Корень $x_1 = 9$ входит в ОДЗ, так как $3 \le 9 \le 13.5$.
Проверка для $x=9$:
$\sqrt{-8(9)+108} = \sqrt{-72+108} = \sqrt{36} = 6$
$9-3 = 6$
Равенство $6 = 6$ верное.
Ответ: $9$

9.10 а) $\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{-2x};$

В) $\sqrt{x^2 - 7} = \sqrt{-2x - 6};$

б) $\sqrt{x^2 + 3x} = \sqrt{x + 1};$

Г) $\sqrt{x^2 + x} = \sqrt{1 - x}.$

а) Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{-2x}$.
Данное уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением в квадрат обеих частей, и неравенства, обеспечивающего неотрицательность подкоренных выражений.
$\begin{cases} x^2 - 1 = -2x, \\ -2x \ge 0. \end{cases}$
Из второго неравенства системы найдем область допустимых значений (ОДЗ). Также учтем, что и первое подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
1) $-2x \ge 0 \implies x \le 0$.
2) $x^2 - 1 \ge 0 \implies (x-1)(x+1) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \le -1$.
Теперь решим уравнение системы:
$x^2 - 1 = -2x$
$x^2 + 2x - 1 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.
$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{2} = -1 + \sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{2} = -1 - \sqrt{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \le -1$):
Корень $x_1 = -1 + \sqrt{2} \approx -1 + 1.414 = 0.414$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $0.414 > -1$.
Корень $x_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -1 - 1.414 = -2.414$. Этот корень входит в ОДЗ, так как $-2.414 \le -1$.
Следовательно, уравнение имеет один корень.
Ответ: $-1 - \sqrt{2}$.

б) Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x^2 + 3x} = \sqrt{x + 1}$.
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + 3x = x + 1, \\ x + 1 \ge 0. \end{cases}$
Найдем ОДЗ, решив систему неравенств для подкоренных выражений:
1) $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2) $x^2 + 3x \ge 0 \implies x(x+3) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -3] \cup [0, \infty)$.
Пересечение этих условий ($x \ge -1$ и $x \in (-\infty, -3] \cup [0, \infty)$) дает ОДЗ: $x \ge 0$.
Решим уравнение системы:
$x^2 + 3x = x + 1$
$x^2 + 2x - 1 = 0$
Корни этого уравнения (как и в пункте а)): $x_1 = -1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.414$. Этот корень входит в ОДЗ, так как $0.414 \ge 0$.
Корень $x_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -2.414$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $-2.414 < 0$.
Таким образом, решением является только один корень.
Ответ: $-1 + \sqrt{2}$.

в) Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x^2 - 7} = \sqrt{-2x - 6}$.
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 7 = -2x - 6, \\ -2x - 6 \ge 0. \end{cases}$
Найдем ОДЗ из условий неотрицательности подкоренных выражений:
1) $-2x - 6 \ge 0 \implies -2x \ge 6 \implies x \le -3$.
2) $x^2 - 7 \ge 0 \implies x^2 \ge 7 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, \infty)$.
Поскольку $\sqrt{7} \approx 2.65$, то $-\sqrt{7} \approx -2.65$. Условие $x \le -3$ является более строгим, чем $x \le -\sqrt{7}$, поэтому ОДЗ: $x \le -3$.
Решим уравнение системы:
$x^2 - 7 = -2x - 6$
$x^2 + 2x - 1 = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = -1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \le -3$):
Корень $x_1 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.414$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $0.414 > -3$.
Корень $x_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -2.414$. Этот корень также не входит в ОДЗ, так как $-2.414 > -3$.
Оба найденных корня являются посторонними, следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.

г) Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x^2 + x} = \sqrt{1 - x}$.
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + x = 1 - x, \\ 1 - x \ge 0. \end{cases}$
Найдем ОДЗ из условий неотрицательности подкоренных выражений:
1) $1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.
2) $x^2 + x \ge 0 \implies x(x+1) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [0, \infty)$.
Пересечение этих условий ($x \le 1$ и $x \in (-\infty, -1] \cup [0, \infty)$) дает ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [0, 1]$.
Решим уравнение системы:
$x^2 + x = 1 - x$
$x^2 + 2x - 1 = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = -1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \in (-\infty, -1] \cup [0, 1]$):
Корень $x_1 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.414$. Этот корень входит в ОДЗ, так как $0 \le 0.414 \le 1$.
Корень $x_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -2.414$. Этот корень также входит в ОДЗ, так как $-2.414 \le -1$.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $-1 - \sqrt{2}; -1 + \sqrt{2}$.

9.11 a) $\sqrt{x^3 - 5x^2 + 7x - 17} = \sqrt{x^3 - 4x^2 - 3x + 4}$;

б) $\sqrt{x^3 - 8x^2 - 7x + 2} = \sqrt{x^3 - 7x^2 - 18x + 20}$.

а) Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x^3 - 5x^2 + 7x - 17} = \sqrt{x^3 - 4x^2 - 3x + 4}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых подкоренные выражения неотрицательны:

$ \begin{cases} x^3 - 5x^2 + 7x - 17 \ge 0 \\ x^3 - 4x^2 - 3x + 4 \ge 0 \end{cases} $

Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат. Это преобразование является равносильным при условии, что найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

$( \sqrt{x^3 - 5x^2 + 7x - 17} )^2 = ( \sqrt{x^3 - 4x^2 - 3x + 4} )^2$

$x^3 - 5x^2 + 7x - 17 = x^3 - 4x^2 - 3x + 4$

Сократим члены $x^3$ и перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$-5x^2 + 7x - 17 + 4x^2 + 3x - 4 = 0$

$-x^2 + 10x - 21 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

$x^2 - 10x + 21 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $10$, а их произведение равно $21$. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$.

Теперь выполним проверку найденных корней на принадлежность ОДЗ. Так как в решении уравнения подкоренные выражения приравниваются, достаточно проверить только одно из неравенств ОДЗ, например $x^3 - 4x^2 - 3x + 4 \ge 0$.

Проверка для $x_1 = 3$:

$3^3 - 4(3^2) - 3(3) + 4 = 27 - 4 \cdot 9 - 9 + 4 = 27 - 36 - 9 + 4 = -14$.

Так как $-14 < 0$, корень $x=3$ является посторонним и не является решением исходного уравнения.

Проверка для $x_2 = 7$:

$7^3 - 4(7^2) - 3(7) + 4 = 343 - 4 \cdot 49 - 21 + 4 = 343 - 196 - 21 + 4 = 130$.

Так как $130 > 0$, корень $x=7$ удовлетворяет ОДЗ и является решением уравнения.

Ответ: $7$.

б) Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x^3 - 8x^2 - 7x + 2} = \sqrt{x^3 - 7x^2 - 18x + 20}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} x^3 - 8x^2 - 7x + 2 \ge 0 \\ x^3 - 7x^2 - 18x + 20 \ge 0 \end{cases} $

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$( \sqrt{x^3 - 8x^2 - 7x + 2} )^2 = ( \sqrt{x^3 - 7x^2 - 18x + 20} )^2$

$x^3 - 8x^2 - 7x + 2 = x^3 - 7x^2 - 18x + 20$

Сократим $x^3$ и приведем подобные слагаемые:

$-8x^2 - 7x + 2 + 7x^2 + 18x - 20 = 0$

$-x^2 + 11x - 18 = 0$

Умножим на $-1$:

$x^2 - 11x + 18 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $11$, а произведение $18$. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ, подставив их в одно из подкоренных выражений, например, в $x^3 - 7x^2 - 18x + 20$. Оно должно быть неотрицательным.

Проверка для $x_1 = 2$:

$2^3 - 7(2^2) - 18(2) + 20 = 8 - 7 \cdot 4 - 36 + 20 = 8 - 28 - 36 + 20 = -36$.

Так как $-36 < 0$, корень $x=2$ является посторонним.

Проверка для $x_2 = 9$:

$9^3 - 7(9^2) - 18(9) + 20 = 729 - 7 \cdot 81 - 162 + 20 = 729 - 567 - 162 + 20 = 162 - 162 + 20 = 20$.

Так как $20 > 0$, корень $x=9$ является решением уравнения.

Ответ: $9$.

9.12 a) $\sqrt{\log_3 x + 1} = \sqrt{\log^2_3 x - 5};$

Б) $\sqrt{2\log_4 x} = \sqrt{\log^2_4 x - 8};$

В) $\sqrt{1 - 4\log_{\frac{1}{2}} x} = \sqrt{6 - \log^2_{\frac{1}{2}} x};$

Г) $\sqrt{2 - \log_{\frac{1}{3}} x} = \sqrt{\log^2_{\frac{1}{3}} x - 4}.$

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{\log_3 x + 1} = \sqrt{\log_3^2 x - 5}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а аргумент логарифма — положительным:

$ \begin{cases} x > 0 \\ \log_3 x + 1 \ge 0 \\ \log_3^2 x - 5 \ge 0 \end{cases} $

Введем замену $t = \log_3 x$. Система неравенств для $t$ примет вид:

$ \begin{cases} t \ge -1 \\ t^2 \ge 5 \end{cases} \implies \begin{cases} t \ge -1 \\ t \ge \sqrt{5} \text{ или } t \le -\sqrt{5} \end{cases} $

Пересечением этих условий является $t \ge \sqrt{5}$. Таким образом, ОДЗ: $\log_3 x \ge \sqrt{5}$.

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$\log_3 x + 1 = \log_3^2 x - 5$

С заменой $t = \log_3 x$ получаем:

$t + 1 = t^2 - 5$

$t^2 - t - 6 = 0$

Находим корни квадратного уравнения: $t_1 = 3$, $t_2 = -2$.

3. Проверим найденные значения $t$ на соответствие ОДЗ ($t \ge \sqrt{5}$):

• $t_1 = 3$. Так как $3 = \sqrt{9}$, а $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, то $t_1=3$ удовлетворяет ОДЗ.
• $t_2 = -2$. Значение не удовлетворяет ОДЗ, так как $-2 < \sqrt{5}$.

4. Находим $x$ для подходящего корня $t=3$:

$\log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$.

Ответ: $x=27$.

б)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2\log_4 x} = \sqrt{\log_4^2 x - 8}$.

1. Найдем ОДЗ. Выражения под корнем должны быть неотрицательны, аргумент логарифма — положителен.

$ \begin{cases} x > 0 \\ 2\log_4 x \ge 0 \\ \log_4^2 x - 8 \ge 0 \end{cases} $

Введем замену $t = \log_4 x$:

$ \begin{cases} 2t \ge 0 \implies t \ge 0 \\ t^2 \ge 8 \implies |t| \ge \sqrt{8} \implies |t| \ge 2\sqrt{2} \end{cases} $

Совмещая условия, получаем $t \ge 2\sqrt{2}$. Таким образом, ОДЗ: $\log_4 x \ge 2\sqrt{2}$.

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$2\log_4 x = \log_4^2 x - 8$

С заменой $t = \log_4 x$ получаем:

$2t = t^2 - 8$

$t^2 - 2t - 8 = 0$

Находим корни: $t_1 = 4$, $t_2 = -2$.

3. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($t \ge 2\sqrt{2}$):

• $t_1 = 4$. Так как $4 = \sqrt{16}$, а $\sqrt{16} > \sqrt{8}$, то $4 > 2\sqrt{2}$. Корень подходит.
• $t_2 = -2$. Не удовлетворяет условию $t \ge 2\sqrt{2}$.

4. Находим $x$ для подходящего корня $t=4$:

$\log_4 x = 4 \implies x = 4^4 = 256$.

Ответ: $x=256$.

в)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{1 - 4\log_{\frac{1}{2}} x} = \sqrt{6 - \log_{\frac{1}{2}}^2 x}$.

1. Найдем ОДЗ. Введем замену $t = \log_{\frac{1}{2}} x$.

$ \begin{cases} x > 0 \\ 1 - 4t \ge 0 \implies 4t \le 1 \implies t \le \frac{1}{4} \\ 6 - t^2 \ge 0 \implies t^2 \le 6 \implies |t| \le \sqrt{6} \end{cases} $

Условие $|t| \le \sqrt{6}$ эквивалентно $-\sqrt{6} \le t \le \sqrt{6}$.

Пересечение условий $t \le \frac{1}{4}$ и $-\sqrt{6} \le t \le \sqrt{6}$ дает ОДЗ для $t$: $-\sqrt{6} \le t \le \frac{1}{4}$.

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$1 - 4\log_{\frac{1}{2}} x = 6 - \log_{\frac{1}{2}}^2 x$

С заменой $t = \log_{\frac{1}{2}} x$ получаем:

$1 - 4t = 6 - t^2$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

Находим корни: $t_1 = 5$, $t_2 = -1$.

3. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-\sqrt{6} \le t \le \frac{1}{4}$):

• $t_1 = 5$. Не удовлетворяет условию $t \le \frac{1}{4}$.
• $t_2 = -1$. Удовлетворяет, так как $-\sqrt{6} \approx -2.45$, и $-\sqrt{6} \le -1 \le \frac{1}{4}$. Корень подходит.

4. Находим $x$ для подходящего корня $t=-1$:

$\log_{\frac{1}{2}} x = -1 \implies x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$.

Ответ: $x=2$.

г)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2 - \log_{\frac{1}{3}} x} = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}}^2 x - 4}$.

1. Найдем ОДЗ. Введем замену $t = \log_{\frac{1}{3}} x$.

$ \begin{cases} x > 0 \\ 2 - t \ge 0 \implies t \le 2 \\ t^2 - 4 \ge 0 \implies t^2 \ge 4 \implies |t| \ge 2 \end{cases} $

Условие $|t| \ge 2$ эквивалентно $t \ge 2$ или $t \le -2$.

Совмещая с условием $t \le 2$, получаем:

• $t \ge 2$ и $t \le 2 \implies t=2$.
• $t \le -2$ и $t \le 2 \implies t \le -2$.

Таким образом, ОДЗ для $t$: $t \le -2$ или $t=2$.

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$2 - \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}}^2 x - 4$

С заменой $t = \log_{\frac{1}{3}} x$ получаем:

$2 - t = t^2 - 4$

$t^2 + t - 6 = 0$

Находим корни: $t_1 = -3$, $t_2 = 2$.

3. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($t \le -2$ или $t=2$):

• $t_1 = -3$. Удовлетворяет условию $t \le -2$. Корень подходит.
• $t_2 = 2$. Удовлетворяет условию $t=2$. Корень подходит.

4. Находим $x$ для обоих подходящих корней:

При $t = -3$: $\log_{\frac{1}{3}} x = -3 \implies x = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3 = 27$.

При $t = 2$: $\log_{\frac{1}{3}} x = 2 \implies x = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{9}, x_2 = 27$.

9.13 а) $lg(x^2 - 17) = lg(11x - 45)$;

б) $lg(x^2 - 7x + 14) = lg(3x - 16)$;

в) $lg(25 - x^2) = lg(2x - 10)$;

г) $lg(x^2 - 5x - 24) = lg(8 - x)$.

а) $lg(x^2 - 17) = lg(11x - 45)$

Уравнение вида $lg(f(x)) = lg(g(x))$ равносильно системе, в которой приравниваются аргументы логарифмов и накладывается условие, что один из аргументов (а значит и оба) должен быть строго больше нуля. Выберем более простое для проверки неравенство.

$ \begin{cases} x^2 - 17 = 11x - 45 \\ 11x - 45 > 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение системы:

$x^2 - 11x - 17 + 45 = 0$

$x^2 - 11x + 28 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета:

$x_1 + x_2 = 11$

$x_1 \cdot x_2 = 28$

Корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = 7$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни неравенству $11x - 45 > 0$, то есть $11x > 45$, или $x > \frac{45}{11}$ ($x > 4\frac{1}{11}$).

При $x_1 = 4$: $4 < 4\frac{1}{11}$, корень не удовлетворяет условию области определения.

При $x_2 = 7$: $7 > 4\frac{1}{11}$, корень удовлетворяет условию.

Ответ: $7$

б) $lg(x^2 - 7x + 14) = lg(3x - 16)$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 7x + 14 = 3x - 16 \\ 3x - 16 > 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение:

$x^2 - 7x - 3x + 14 + 16 = 0$

$x^2 - 10x + 30 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 100 - 120 = -20$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное логарифмическое уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет

в) $lg(25 - x^2) = lg(2x - 10)$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 25 - x^2 = 2x - 10 \\ 2x - 10 > 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение:

$x^2 + 2x - 10 - 25 = 0$

$x^2 + 2x - 35 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -35$

Корни уравнения: $x_1 = 5$, $x_2 = -7$.

Проверим корни по условию $2x - 10 > 0$, то есть $2x > 10$, или $x > 5$.

При $x_1 = 5$: $5$ не больше $5$, условие $x > 5$ не выполняется.

При $x_2 = -7$: $-7 < 5$, условие $x > 5$ не выполняется.

Оба корня являются посторонними, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет

г) $lg(x^2 - 5x - 24) = lg(8 - x)$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 5x - 24 = 8 - x \\ 8 - x > 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение:

$x^2 - 5x + x - 24 - 8 = 0$

$x^2 - 4x - 32 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = -32$

Корни уравнения: $x_1 = 8$, $x_2 = -4$.

Проверим корни по условию $8 - x > 0$, то есть $x < 8$.

При $x_1 = 8$: $8$ не меньше $8$, условие $x < 8$ не выполняется.

При $x_2 = -4$: $-4 < 8$, корень удовлетворяет условию.

Ответ: $-4$

9.14 a) $lg (x^2 - x - 6) + 4^x + 16 = 17 \cdot 2^x + lg (x^2 - x - 6);$

б) $\sqrt{x^2 - 9} + \lg (x^2 + 3x) = 1 + \sqrt{x^2 - 9};$

В) $\sqrt{-x^2 + 4x - 3.5} + 9^x + 243 = 36 \cdot 3^x + \sqrt{-x^2 + 4x - 3.5};$

Г) $\lg (x^2 + 21x) + \operatorname{tg} \frac{\pi x}{2} = 2 + \operatorname{tg} \frac{\pi x}{2}.$

а) $ \lg(x^2 - x - 6) + 4^x + 16 = 17 \cdot 2^x + \lg(x^2 - x - 6) $

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $ x^2 - x - 6 > 0 $. Найдем корни уравнения $ x^2 - x - 6 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -2 $. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty) $.

В исходном уравнении вычтем из обеих частей $ \lg(x^2 - x - 6) $: $ 4^x + 16 = 17 \cdot 2^x $. Перепишем $ 4^x $ как $ (2^x)^2 $: $ (2^x)^2 - 17 \cdot 2^x + 16 = 0 $. Сделаем замену $ t = 2^x $, где $ t > 0 $: $ t^2 - 17t + 16 = 0 $. По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 16 $. Оба корня положительны.

Вернемся к исходной переменной: 1) $ 2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x = 0 $. 2) $ 2^x = 16 \Rightarrow 2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4 $.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x < -2 $ или $ x > 3 $): $ x = 0 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как $ -2 < 0 < 3 $. $ x = 4 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $ 4 > 3 $.

Ответ: $ 4 $.

б) $ \sqrt{x^2 - 9} + \lg(x^2 + 3x) = 1 + \sqrt{x^2 - 9} $

Найдем ОДЗ. Должны выполняться два условия: 1) $ x^2 - 9 \ge 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty) $. 2) $ x^2 + 3x > 0 \Rightarrow x(x+3) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -3) \cup (0, \infty) $. Пересечение этих двух множеств дает нам ОДЗ: $ x \in (-\infty, -3) \cup [3, \infty) $.

Вычтем из обеих частей уравнения $ \sqrt{x^2 - 9} $: $ \lg(x^2 + 3x) = 1 $. По определению десятичного логарифма: $ x^2 + 3x = 10^1 $ $ x^2 + 3x - 10 = 0 $. По теореме Виета, корни этого уравнения $ x_1 = -5 $ и $ x_2 = 2 $.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \in (-\infty, -3) \cup [3, \infty) $): $ x = -5 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $ -5 < -3 $. $ x = 2 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как $ -3 < 2 < 3 $.

Ответ: $ -5 $.

в) $ \sqrt{-x^2 + 4x - 3,5} + 9^x + 243 = 36 \cdot 3^x + \sqrt{-x^2 + 4x - 3,5} $

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ -x^2 + 4x - 3,5 \ge 0 $. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $ x^2 - 4x + 3,5 \le 0 $. Найдем корни уравнения $ x^2 - 4x + 3,5 = 0 $. Дискриминант $ D = 16 - 4 \cdot 3,5 = 16 - 14 = 2 $. Корни $ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{2}}{2} = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $. Так как парабола $ y = x^2 - 4x + 3,5 $ имеет ветви вверх, неравенство выполняется между корнями: $ x \in [2 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}] $.

Вычтем из обеих частей уравнения $ \sqrt{-x^2 + 4x - 3,5} $: $ 9^x + 243 = 36 \cdot 3^x $. Перепишем $ 9^x $ как $ (3^x)^2 $ и перенесем все в одну сторону: $ (3^x)^2 - 36 \cdot 3^x + 243 = 0 $. Сделаем замену $ t = 3^x $, где $ t > 0 $: $ t^2 - 36t + 243 = 0 $. Дискриминант $ D = 36^2 - 4 \cdot 243 = 1296 - 972 = 324 = 18^2 $. Корни $ t_{1,2} = \frac{36 \pm 18}{2} $. $ t_1 = \frac{36-18}{2} = 9 $, $ t_2 = \frac{36+18}{2} = 27 $. Оба корня положительны.

Вернемся к исходной переменной: 1) $ 3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2 $. 2) $ 3^x = 27 \Rightarrow 3^x = 3^3 \Rightarrow x = 3 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \in [2 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}] $). Приближенно $ \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 $, так что ОДЗ примерно $ [1,293, 2,707] $. $ x = 2 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $ 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} < 2 < 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} $. $ x = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как $ 3 > 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ 2 $.

г) $ \lg(x^2 + 21x) + \tg\frac{\pi x}{2} = 2 + \tg\frac{\pi x}{2} $

Найдем ОДЗ. 1) Аргумент логарифма должен быть положителен: $ x^2 + 21x > 0 \Rightarrow x(x+21) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -21) \cup (0, \infty) $. 2) Тангенс определен, если его аргумент не равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $. $ \frac{\pi x}{2} \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow \frac{x}{2} \ne \frac{1}{2} + k \Rightarrow x \ne 1 + 2k $. Это означает, что $ x $ не может быть нечетным целым числом.

Вычтем из обеих частей уравнения $ \tg\frac{\pi x}{2} $: $ \lg(x^2 + 21x) = 2 $. По определению десятичного логарифма: $ x^2 + 21x = 10^2 $ $ x^2 + 21x - 100 = 0 $. По теореме Виета, корни уравнения $ x_1 = -25 $ и $ x_2 = 4 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. 1) $ x = -25 $. Этот корень входит в интервал $ (-\infty, -21) $. Однако, $ -25 $ является нечетным целым числом ($ -25 = 1 + 2(-13) $). При этом значении $ x $ тангенс $ \tg\frac{\pi x}{2} $ не определен. Значит, $ x = -25 $ — посторонний корень. 2) $ x = 4 $. Этот корень входит в интервал $ (0, \infty) $. Число 4 является четным, поэтому $ \tg\frac{\pi \cdot 4}{2} = \tg(2\pi) $ определен. Значит, $ x=4 $ является решением.

Ответ: $ 4 $.