Страница 243 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

9.1° а) В каком случае говорят, что дана система уравнений и неравенств?

б) Как записывают систему уравнений и неравенств?

в) Какое число называют решением системы?

г) Что значит решить систему?

а) Говорят, что дана система уравнений и неравенств, когда требуется найти все значения переменных, которые одновременно удовлетворяют нескольким заданным уравнениям и/или неравенствам. То есть, ищется общее решение для совокупности математических условий.
Ответ: Когда требуется найти все общие решения для нескольких уравнений и/или неравенств.

б) Систему уравнений и неравенств записывают, располагая все входящие в нее условия (уравнения и неравенства) друг под другом. Слева от этих условий ставится фигурная скобка $\{$, которая объединяет их в единую систему. Эта скобка символизирует логический союз «И», то есть указывает на необходимость одновременного выполнения всех условий.
Например, система из уравнения и неравенства с переменной $x$ записывается так: $$ \begin{cases} 2x + 5 = 11, \\ x - 1 > 2. \end{cases} $$ Ответ: Уравнения и неравенства записывают в столбик и объединяют слева фигурной скобкой.

в) Решением системы с одной переменной называют такое значение этой переменной, при подстановке которого каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство, а каждое неравенство — в верное числовое неравенство. Если в системе несколько переменных, то решением является упорядоченный набор чисел (например, пара $(x_0, y_0)$), который удовлетворяет всем условиям системы.
Ответ: Значение переменной (или упорядоченный набор значений для нескольких переменных), которое обращает каждое уравнение и неравенство системы в верное числовое равенство или неравенство.

г) Решить систему — это значит найти множество всех её решений или доказать, что это множество пусто (то есть решений не существует). Процесс решения включает в себя преобразования, которые позволяют найти все значения переменных, удовлетворяющие одновременно всем условиям системы.
Ответ: Найти все решения системы или доказать, что у системы нет решений.

9.2 а) В каком случае говорят, что две системы равносильны?

б) В каком случае говорят, что уравнение (неравенство) равносильно системе?

а) Две системы уравнений (или неравенств) называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Это означает, что любое решение первой системы является решением второй системы, и, в свою очередь, любое решение второй системы является решением первой. Если обе системы не имеют решений (то есть множество решений каждой из них пусто), то они также считаются равносильными.
Формально, пусть даны две системы, $S_1$ и $S_2$. Обозначим их множества решений как $M_1$ и $M_2$ соответственно. Системы $S_1$ и $S_2$ являются равносильными тогда и только тогда, когда выполняется равенство множеств: $M_1 = M_2$.
Ответ: Две системы называют равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

б) Уравнение (или неравенство) называют равносильным системе, если множество решений этого уравнения (неравенства) совпадает с множеством решений данной системы.
Напомним, что решением системы является такой набор значений переменных, который удовлетворяет каждому уравнению или неравенству, входящему в систему. Таким образом, множество решений системы есть пересечение множеств решений всех её составляющих.
Следовательно, для того чтобы уравнение (или неравенство) было равносильно системе, необходимо, чтобы любое решение уравнения (неравенства) являлось решением системы, и наоборот, любое решение системы являлось решением исходного уравнения (неравенства).
Формально, пусть дано уравнение (или неравенство) $U$ с множеством решений $M_U$ и система $S$ с множеством решений $M_S$. Уравнение (неравенство) $U$ равносильно системе $S$ в том и только в том случае, если $M_U = M_S$.
Ответ: Уравнение (неравенство) называют равносильным системе, если множество решений уравнения (неравенства) совпадает с множеством решений системы.

9.3 Запишите систему неравенств, равносильную неравенству:

a) $|x| < 5$;

б) $|x| \le 4$.

а) Неравенство с модулем вида $|x| < a$, где $a > 0$, равносильно двойному неравенству $-a < x < a$. Данное двойное неравенство, в свою очередь, представляет собой систему из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно.

Для исходного неравенства $|x| < 5$, значение $a = 5$. Следовательно, это неравенство равносильно двойному неравенству $-5 < x < 5$.

Запишем это в виде системы неравенств:

$ \begin{cases} x < 5 \\ x > -5 \end{cases} $

Ответ: $ \begin{cases} x < 5 \\ x > -5 \end{cases} $

б) Аналогично, неравенство вида $|x| \le a$, где $a \ge 0$, равносильно двойному неравенству $-a \le x \le a$. Это двойное неравенство также можно записать в виде системы.

Для исходного неравенства $|x| \le 4$, значение $a = 4$. Следовательно, оно равносильно двойному неравенству $-4 \le x \le 4$.

Запишем это в виде системы неравенств:

$ \begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -4 \end{cases} $

Ответ: $ \begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -4 \end{cases} $

9.4°

a) В каком случае говорят, что дана совокупность нескольких систем?

б) В каком случае говорят, что уравнение (неравенство) равносильно совокупности нескольких систем?

в) Как записывают равносильность уравнения (неравенства) системе?

а) О совокупности нескольких систем говорят в том случае, когда необходимо найти все значения переменных, которые являются решением хотя бы одной из этих систем. Это означает, что искомые значения должны удовлетворять или первой системе, или второй, или какой-либо другой из перечисленных. Решение совокупности систем является объединением множеств решений всех систем, входящих в нее.
Ответ: Говорят, что дана совокупность нескольких систем, если требуется найти все значения переменных, удовлетворяющие хотя бы одной из этих систем.

б) Уравнение (или неравенство) называют равносильным совокупности нескольких систем, если множество всех решений этого уравнения (неравенства) в точности совпадает с множеством решений данной совокупности. Поскольку решением совокупности систем является объединение множеств решений всех входящих в нее систем, то для равносильности необходимо, чтобы множество решений исходного уравнения (неравенства) было равно этому объединению.
Ответ: Уравнение (неравенство) равносильно совокупности нескольких систем, если множество его решений совпадает с объединением множеств решений всех систем, входящих в совокупность.

в) Равносильность уравнения (или неравенства) и системы записывают с помощью знака равносильности (эквивалентности) $ \Leftrightarrow $. Этот знак ставится между исходным уравнением (неравенством) и системой. Система уравнений и/или неравенств записывается с помощью фигурной скобки $ \left\{ \right. $, которая означает, что все условия внутри нее должны выполняться одновременно (логическое «И»).
Например, равносильный переход для иррационального уравнения записывается следующим образом:
$ \sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases} $
Эта запись означает, что исходное уравнение и система имеют одно и то же множество решений.
Ответ: Равносильность уравнения (неравенства) системе записывают с помощью знака эквивалентности $ \Leftrightarrow $, который ставится между уравнением (неравенством) и системой, записанной с помощью фигурной скобки.

9.5 Запишите совокупность уравнений, равносильную уравнению:

а) $|x|=5$;

б) $|x|=4$.

Уравнение вида $|x| = a$, где $a \ge 0$, равносильно совокупности уравнений. Это означает, что решение исходного уравнения является объединением решений уравнений из совокупности.

По определению, модуль числа $x$ — это расстояние от точки с координатой $x$ до начала отсчета (точки 0) на числовой прямой. Если это расстояние равно $a$, то сама точка $x$ может быть либо $a$, либо $-a$. Таким образом, уравнение $|x| = a$ можно заменить на совокупность двух уравнений: $x = a$ и $x = -a$. Совокупность уравнений принято обозначать квадратной скобкой.

а)

Рассмотрим уравнение $|x| = 5$. Оно означает, что расстояние от $x$ до 0 равно 5. Это верно для двух значений $x$: 5 и -5. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ: $\left[ \begin{array}{l} x = 5, \\ x = -5. \end{array} \right.$

б)

Рассмотрим уравнение $|x| = 4$. Оно означает, что расстояние от $x$ до 0 равно 4. Это верно для двух значений $x$: 4 и -4. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ: $\left[ \begin{array}{l} x = 4, \\ x = -4. \end{array} \right.$

9.6 Запишите совокупность неравенств, равносильную неравенству:

$|x| > 5$;

$|x| > 4$.

а) Неравенство с модулем вида $|f(x)| > a$, где $a$ — положительное число, равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$. Совокупность означает, что решением является объединение решений этих двух неравенств.

В данном случае tenemos неравенство $|x| > 5$. Здесь $f(x) = x$ и $a=5$.

Применяя указанное правило, мы можем заменить исходное неравенство равносильной ему совокупностью:

$x > 5$ или $x < -5$.

Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой должно быть больше 5. Этому условию удовлетворяют все точки, которые находятся правее 5, и все точки, которые находятся левее -5.

В виде совокупности это записывается так:

$ \left[ \begin{array}{l} x > 5, \\ x < -5. \end{array} \right. $

Ответ: $ \left[ \begin{array}{l} x > 5, \\ x < -5. \end{array} \right. $

б) Аналогично решается неравенство $|x| > 4$.

Здесь $f(x) = x$ и $a=4$.

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x > 4$ или $x < -4$.

Это означает, что мы ищем все числа $x$, расстояние которых от нуля больше 4.

Запишем данную совокупность:

$ \left[ \begin{array}{l} x > 4, \\ x < -4. \end{array} \right. $

Ответ: $ \left[ \begin{array}{l} x > 4, \\ x < -4. \end{array} \right. $

9.7 Равносильно ли уравнение $|x+2| = 2x+3$ совокупности систем

$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} x+2 \ge 0 \\ x+2 = 2x+3 \end{cases} \\ \begin{cases} x+2 < 0 \\ -x-2 = 2x+3 \end{cases} \end{gathered} \right.$

Для того чтобы ответить на вопрос, равносильно ли уравнение $|x+2| = 2x+3$ указанной совокупности систем, необходимо найти и сравнить их множества решений. Два уравнения (или системы) называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Сначала найдем решение исходного уравнения $|x+2| = 2x+3$.

Метод решения уравнения вида $|f(x)| = g(x)$ заключается в том, что оно равносильно системе, в которой учитывается неотрицательность правой части, так как модуль не может быть отрицательным числом:

$$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ \left[ \begin{gathered} f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x) \end{gathered} \right. \end{cases} $$

Применительно к нашему случаю, сначала накладываем условие на правую часть:

$2x + 3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$

Теперь решаем два уравнения, которые получаются при раскрытии модуля, и проверяем найденные корни на соответствие этому условию.

1. $x + 2 = 2x + 3$

$2 - 3 = 2x - x$

$x = -1$

Этот корень удовлетворяет условию $x \ge -1.5$, так как $-1 > -1.5$. Следовательно, $x = -1$ является решением.

2. $x + 2 = -(2x + 3)$

$x + 2 = -2x - 3$

$3x = -5$

$x = -\frac{5}{3}$

Проверим этот корень. $x = -\frac{5}{3} \approx -1.67$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge -1.5$, так как $-1.67 < -1.5$. Следовательно, $x = -\frac{5}{3}$ является посторонним корнем.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение: $x = -1$.

Теперь решим совокупность систем, предложенную в задаче.

$$ \left[ \begin{gathered} \begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ x + 2 = 2x + 3 \end{cases} \\ \begin{cases} x + 2 < 0 \\ -x - 2 = 2x + 3 \end{cases} \end{gathered} \right. $$

Этот метод основан на раскрытии модуля по его определению. Решим каждую систему отдельно.

Первая система:

$$ \begin{cases} x \ge -2 \\ x = -1 \end{cases} $$

Значение $x = -1$ удовлетворяет условию $x \ge -2$, поэтому $x = -1$ является решением этой системы.

Вторая система:

$$ \begin{cases} x < -2 \\ -5 = 3x \implies x = -\frac{5}{3} \end{cases} $$

Значение $x = -\frac{5}{3}$ не удовлетворяет условию $x < -2$ (поскольку $-\frac{5}{3} > -2$). Следовательно, вторая система решений не имеет.

Решением совокупности систем является объединение решений всех систем, входящих в нее. В данном случае это только решение первой системы, то есть $x = -1$.

Итак, множество решений исходного уравнения $|x+2| = 2x+3$ есть $\{-1\}$, и множество решений данной совокупности систем также есть $\{-1\}$. Поскольку множества решений совпадают, уравнение и совокупность систем равносильны.

Важно отметить, что сам переход от уравнения с модулем к совокупности систем, основанный на определении модуля, является равносильным преобразованием. Следовательно, можно было сделать вывод о равносильности, не проводя вычислений.

Ответ: Да, данное уравнение равносильно указанной совокупности систем.