Страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

8.21°

a) Объясните, почему могут привести к появлению корней, посторонних для исходного уравнения, преобразования: 1) приведение подобных членов; 2) освобождение от знаменателя; 3)* применение формул.

б)* Докажите утверждения: 1) о приведении подобных членов; 2) об освобождении от знаменателя; 3) о применении формул.

а) 1) приведение подобных членов

Приведение подобных членов может привести к появлению посторонних корней, если это преобразование расширяет область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Такое происходит, когда сокращаемые (или приводимые) члены содержат переменную в знаменателе или под знаком корня, и их ОДЗ строже, чем у остальных частей уравнения.

Рассмотрим пример:
$x^2 + \frac{1}{x-1} = 1 + \frac{1}{x-1}$

ОДЗ этого уравнения: $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
Если мы вычтем из обеих частей уравнения слагаемое $\frac{1}{x-1}$ (приведение подобных членов), мы получим новое уравнение:
$x^2 = 1$

ОДЗ этого уравнения — все действительные числа. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения и является его решением.
Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ исходного уравнения, так как при $x=1$ знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x=1$ — посторонний корень, появившийся в результате расширения ОДЗ при преобразовании.

Ответ: Приведение подобных членов может привести к появлению посторонних корней, если в результате преобразования происходит расширение области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Корень, принадлежащий новой, расширенной ОДЗ, но не принадлежащий исходной, является посторонним.

а) 2) освобождение от знаменателя

Освобождение от знаменателя (умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель) является неравносильным преобразованием, которое может привести к появлению посторонних корней. Это происходит потому, что новое уравнение-следствие определено для тех значений переменной, при которых знаменатель исходного уравнения равен нулю, в то время как для исходного уравнения эти значения недопустимы.

Рассмотрим пример:
$\frac{x^2 - 9}{x+3} = 0$

ОДЗ этого уравнения: $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.
Чтобы освободиться от знаменателя, умножим обе части на $x+3$:
$x^2 - 9 = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения.
Корень $x_2 = -3$ не входит в ОДЗ, так как обращает знаменатель исходной дроби в ноль. Значит, $x = -3$ — посторонний корень.

Ответ: Умножение уравнения на выражение, содержащее переменную (знаменатель), приводит к уравнению-следствию. Корни, которые обращают это выражение в ноль, могут быть корнями нового уравнения, но являются посторонними для исходного, так как при них знаменатель равен нулю.

а) 3)* применение формул

Применение некоторых математических формул (тождеств) может изменять ОДЗ уравнения. Если в результате применения формулы ОДЗ расширяется, могут появиться посторонние корни. Это характерно для формул, связывающих логарифмические, тригонометрические или иррациональные выражения.

Рассмотрим пример с логарифмами. Преобразуем уравнение, используя формулу $n \log_a b = \log_a (b^n)$.
Исходное уравнение: $2\log_3(x) = 2$.

ОДЗ этого уравнения определяется условием $x > 0$. Решение: $\log_3(x) = 1$, откуда $x=3$.
Применим формулу и получим новое уравнение:
$\log_3(x^2) = 2$

ОДЗ этого уравнения определяется условием $x^2 > 0$, что равносильно $x \neq 0$. Область допустимых значений расширилась.
Решаем новое уравнение: $x^2 = 3^2$, откуда $x^2=9$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Корень $x_1 = 3$ совпадает с корнем исходного уравнения.
Корень $x_2 = -3$ не входит в ОДЗ исходного уравнения ($x > 0$), поэтому он является посторонним.

Ответ: Применение формул может привести к появлению посторонних корней, если формула преобразует выражение в другое, имеющее более широкую область определения. Это расширяет ОДЗ всего уравнения, что может породить решения, не удовлетворяющие ОДЗ исходного уравнения.

б) 1)* о приведении подобных членов

Докажем, что преобразование уравнения вида $A(x) + C(x) = B(x) + C(x)$ в уравнение $A(x) = B(x)$ может привести к появлению посторонних корней.

Пусть $D_A$, $D_B$, $D_C$ — области определения выражений $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ соответственно.
Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения $A(x) + C(x) = B(x) + C(x)$ есть $D_1 = D_A \cap D_B \cap D_C$.
ОДЗ преобразованного уравнения $A(x) = B(x)$ есть $D_2 = D_A \cap D_B$.

Из определения следует, что $D_1 \subseteq D_2$. Преобразование является равносильным только если $D_1 = D_2$. Если же $D_C$ является собственным подмножеством $D_A \cap D_B$, то $D_1 \subset D_2$, то есть ОДЗ расширяется.

Пусть $x_0$ — корень преобразованного уравнения $A(x) = B(x)$. Это означает, что $x_0 \in D_2$ и $A(x_0) = B(x_0)$ является верным числовым равенством.
1. Если $x_0 \in D_1$, то $x_0$ также принадлежит и $D_C$. Значит, выражение $C(x_0)$ определено, и мы можем прибавить его к обеим частям верного равенства $A(x_0) = B(x_0)$, получив $A(x_0) + C(x_0) = B(x_0) + C(x_0)$. Таким образом, $x_0$ является корнем исходного уравнения.
2. Если $x_0 \in D_2 \setminus D_1$, то $x_0 \notin D_C$. Это означает, что выражение $C(x_0)$ не определено. Следовательно, $x_0$ не может быть корнем исходного уравнения, так как оно не определено в этой точке. Такой корень $x_0$ является посторонним.

Что и доказывает утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Посторонние корни могут возникнуть, если корень преобразованного уравнения принадлежит расширенной части ОДЗ, в которой отброшенное слагаемое $C(x)$ не определено.

б) 2)* об освобождении от знаменателя

Докажем, что преобразование уравнения вида $\frac{A(x)}{B(x)} = C(x)$ в уравнение $A(x) = C(x) \cdot B(x)$ может привести к появлению посторонних корней.

Исходное уравнение $f(x)=g(x)$ имеет вид $\frac{A(x)}{B(x)} = C(x)$. Его ОДЗ $D_1$ требует, чтобы $x$ принадлежал областям определения $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ и, кроме того, чтобы выполнялось условие $B(x) \neq 0$.
Преобразованное уравнение (уравнение-следствие) имеет вид $A(x) = C(x) \cdot B(x)$. Его ОДЗ $D_2$ требует только, чтобы $x$ принадлежал областям определения $A(x)$, $B(x)$ и $C(x)$.

Очевидно, что $D_1 \subseteq D_2$. Множество $D_2 \setminus D_1$ состоит из тех $x$, при которых $B(x) = 0$.

Пусть $x_0$ — корень преобразованного уравнения. Это значит, что $A(x_0) = C(x_0) \cdot B(x_0)$ — верное равенство.
1. Если $B(x_0) \neq 0$, то $x_0 \in D_1$. Мы можем разделить обе части равенства на $B(x_0)$, получив $\frac{A(x_0)}{B(x_0)} = C(x_0)$. Значит, $x_0$ — корень исходного уравнения.
2. Если $B(x_0) = 0$, то $x_0 \notin D_1$. В этом случае равенство $A(x_0) = C(x_0) \cdot B(x_0)$ превращается в $A(x_0) = C(x_0) \cdot 0$, то есть $A(x_0) = 0$. Таким образом, любой корень знаменателя $B(x)=0$, который одновременно является и корнем числителя $A(x)=0$, будет корнем преобразованного уравнения. Но так как при этом значении $x_0$ исходное уравнение теряет смысл (деление на ноль), $x_0$ является посторонним корнем.

Что и доказывает утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Посторонними корнями становятся те корни преобразованного уравнения, которые обращают в ноль знаменатель исходного уравнения.

б) 3)* о применении формул

Докажем, что применение формул (тождеств) при решении уравнений может приводить к появлению посторонних корней.

Пусть при решении уравнения $F(x) = H(x)$ используется тождество $A(x) = B(x)$, которое позволяет заменить в уравнении выражение $A(x)$ на $B(x)$, получив новое уравнение $G(x) = H(x)$.

Пусть $D_A$ и $D_B$ — области определения выражений $A(x)$ и $B(x)$ соответственно. Тождество $A(x)=B(x)$ справедливо для всех $x$ из $D_A \cap D_B$.
Проблема возникает, когда области определения не совпадают, т.е. $D_A \neq D_B$. Если $D_A \subset D_B$, то ОДЗ исходного уравнения может быть строже, чем ОДЗ нового.

Пусть $D_{исх}$ — ОДЗ исходного уравнения, а $D_{нов}$ — ОДЗ нового. Если мы заменяем $A(x)$ на $B(x)$, где $D_A \subset D_B$, то возможно, что $D_{исх} \subset D_{нов}$.
Пусть $x_0$ — корень нового уравнения, то есть $x_0 \in D_{нов}$ и $G(x_0) = H(x_0)$ — верное равенство.
1. Если $x_0 \in D_{исх}$, то $x_0$ является и корнем исходного уравнения, так как на этой области $A(x_0)=B(x_0)$ и преобразование было равносильным.
2. Если $x_0 \in D_{нов} \setminus D_{исх}$, то это означает, что $x_0$ попал в ту часть ОДЗ, которая добавилась в результате преобразования. В этой точке выражение $A(x_0)$ в исходном уравнении не определено, а значит, $x_0$ не может быть корнем исходного уравнения и является посторонним.

Примером такой ситуации является замена $2\log_a f(x)$ (ОДЗ: $f(x)>0$) на $\log_a (f(x)^2)$ (ОДЗ: $f(x)\neq 0$). Здесь $D_A \subset D_B$.

Ответ: Утверждение доказано. Появление посторонних корней возможно, если применяемое тождество $A(x)=B(x)$ связывает выражения с разными областями определения ($D_A \neq D_B$), и преобразование ведет к расширению ОДЗ исходного уравнения.

Решите уравнение (8.22—8.30):

8.22 а) $5(7 - 3\sqrt{x}) - 3(2x - 5\sqrt{x}) = 41;$

б) $2(3 - 5\sqrt{x}) - 5(x - 2\sqrt{x}) = x.$

а) $5(7 - 3\sqrt{x}) - 3(2x - 5\sqrt{x}) = 41$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении присутствует квадратный корень из переменной $x$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Теперь решим уравнение. Раскроем скобки в левой части уравнения:
$5 \cdot 7 - 5 \cdot 3\sqrt{x} - 3 \cdot 2x - 3 \cdot (-5\sqrt{x}) = 41$
$35 - 15\sqrt{x} - 6x + 15\sqrt{x} = 41$

Приведем подобные слагаемые. Члены, содержащие $\sqrt{x}$, взаимно уничтожаются:
$35 - 6x + (-15\sqrt{x} + 15\sqrt{x}) = 41$
$35 - 6x = 41$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$-6x = 41 - 35$
$-6x = 6$
$x = \frac{6}{-6}$
$x = -1$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -1$ области допустимых значений $x \ge 0$.
Поскольку $-1 < 0$, найденное значение не входит в ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

б) $2(3 - 5\sqrt{x}) - 5(x - 2\sqrt{x}) = x$

Область допустимых значений для этого уравнения также определяется условием $x \ge 0$ из-за наличия $\sqrt{x}$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2 \cdot 3 - 2 \cdot 5\sqrt{x} - 5 \cdot x - 5 \cdot (-2\sqrt{x}) = x$
$6 - 10\sqrt{x} - 5x + 10\sqrt{x} = x$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $\sqrt{x}$ взаимно уничтожаются:
$6 - 5x + (-10\sqrt{x} + 10\sqrt{x}) = x$
$6 - 5x = x$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем все члены с $x$ в одну сторону:
$6 = x + 5x$
$6 = 6x$
$x = \frac{6}{6}$
$x = 1$

Проверим, принадлежит ли корень $x = 1$ области допустимых значений $x \ge 0$.
Так как $1 \ge 0$, корень является решением уравнения.

Выполним проверку, подставив $x = 1$ в исходное уравнение:
$2(3 - 5\sqrt{1}) - 5(1 - 2\sqrt{1}) = 1$
$2(3 - 5) - 5(1 - 2) = 1$
$2(-2) - 5(-1) = 1$
$-4 + 5 = 1$
$1 = 1$
Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 1.

8.23 a) $(x + 2\sqrt{x})^2 - 4x\sqrt{x} = -3;$

б) $(x + \sqrt{x})^2 - 2x\sqrt{x} = 6;$

в) $(x - 2\sqrt{x})^2 + 4x\sqrt{x} = 5;$

г) $(x - \sqrt{x})^2 + 2x\sqrt{x} = 30.$

а) $(x + 2\sqrt{x})^2 - 4x\sqrt{x} = -3$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении присутствует выражение $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Далее раскроем скобки в левой части уравнения, применив формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = 2\sqrt{x}$:
$(x + 2\sqrt{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2\sqrt{x} + (2\sqrt{x})^2 = x^2 + 4x\sqrt{x} + 4x$.

Подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:
$(x^2 + 4x\sqrt{x} + 4x) - 4x\sqrt{x} = -3$.

Упростим уравнение. Члены $4x\sqrt{x}$ и $-4x\sqrt{x}$ взаимно уничтожаются:
$x^2 + 4x = -3$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 4x + 3 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $3$. Легко подобрать корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$.
Корень $x_2 = -3$ также не удовлетворяет условию, так как $-3 < 0$.
Следовательно, у уравнения нет действительных корней.

Ответ: нет корней.

б) $(x + \sqrt{x})^2 - 2x\sqrt{x} = 6$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x + \sqrt{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = x^2 + 2x\sqrt{x} + x$.

Подставим в исходное уравнение:
$(x^2 + 2x\sqrt{x} + x) - 2x\sqrt{x} = 6$.

Упрощаем, сокращая $2x\sqrt{x}$ и $-2x\sqrt{x}$:
$x^2 + x = 6$.

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 + x - 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, произведение равно $-6$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: $2$.

в) $(x - 2\sqrt{x})^2 + 4x\sqrt{x} = 5$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - 2\sqrt{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2\sqrt{x} + (2\sqrt{x})^2 = x^2 - 4x\sqrt{x} + 4x$.

Подставим в исходное уравнение:
$(x^2 - 4x\sqrt{x} + 4x) + 4x\sqrt{x} = 5$.

Упрощаем, сокращая $-4x\sqrt{x}$ и $4x\sqrt{x}$:
$x^2 + 4x = 5$.

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 + 4x - 5 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, произведение равно $-5$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: $1$.

г) $(x - \sqrt{x})^2 + 2x\sqrt{x} = 30$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - \sqrt{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = x^2 - 2x\sqrt{x} + x$.

Подставим в исходное уравнение:
$(x^2 - 2x\sqrt{x} + x) + 2x\sqrt{x} = 30$.

Упрощаем, сокращая $-2x\sqrt{x}$ и $2x\sqrt{x}$:
$x^2 + x = 30$.

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 + x - 30 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, произведение равно $-30$. Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 0$):
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: $5$.

8.24 a) $tg \frac{\pi x}{2} + x^2 - 7x = tg \frac{\pi x}{2} - 6;$

б) $ctg \frac{\pi x}{3} + x^2 - 2x = ctg \frac{\pi x}{3} + 24;$

в) $x^2 + 13 + log_2 (x^3 - 9) = 8x + log_2 (2x^3 - 18);$

г) $x^2 + 2x + log_3 (x^3 + 4) = 23 + log_3 (3x^3 + 12).$

а)

Дано уравнение: $tg \frac{\pi x}{2} + x^2 - 7x = tg \frac{\pi x}{2} - 6$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция тангенса $tg(y)$ определена, если ее аргумент $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Для нашего уравнения это означает:

$\frac{\pi x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$

Разделив все части на $\pi$, получаем:

$\frac{x}{2} \neq \frac{1}{2} + k$

Умножив на 2, находим ОДЗ для $x$:

$x \neq 1 + 2k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Это значит, что $x$ не может быть нечетным целым числом.

Теперь упростим исходное уравнение. Слагаемое $tg \frac{\pi x}{2}$ есть в обеих частях уравнения, поэтому его можно сократить:

$x^2 - 7x = -6$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 7x + 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Отсюда находим корни:

$x_1 = 1, \quad x_2 = 6$

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 1 + 2k$):

• Для $x_1 = 1$: подставив в $1 = 1 + 2k$, получаем $2k=0$, откуда $k=0$. Так как $k$ является целым числом, корень $x=1$ не удовлетворяет ОДЗ.
• Для $x_2 = 6$: подставив в $6 = 1 + 2k$, получаем $2k=5$, откуда $k=2.5$. Так как $k$ не является целым числом, корень $x=6$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 6

б)

Дано уравнение: $ctg \frac{\pi x}{3} + x^2 - 2x = ctg \frac{\pi x}{3} + 24$.

ОДЗ для функции котангенса $ctg(y)$ определяется условием $y \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi x}{3} \neq \pi k$

$\frac{x}{3} \neq k$

$x \neq 3k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, $x$ не может быть целым числом, кратным 3.

Сократим $ctg \frac{\pi x}{3}$ в обеих частях уравнения:

$x^2 - 2x = 24$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 2x - 24 = 0$

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -24$. Корни уравнения:

$x_1 = 6, \quad x_2 = -4$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3k$):

• Для $x_1 = 6$: так как $6 = 3 \cdot 2$, этот корень не удовлетворяет ОДЗ.
• Для $x_2 = -4$: $-4$ не делится на 3 нацело, поэтому корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -4

в)

Дано уравнение: $x^2 + 13 + log_2(x^3 - 9) = 8x + log_2(2x^3 - 18)$.

ОДЗ для логарифмической функции требует, чтобы ее аргумент был строго положительным. Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} x^3 - 9 > 0 \\ 2x^3 - 18 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^3 > 9 \\ x^3 > 9 \end{cases} \implies x^3 > 9 \implies x > \sqrt[3]{9}$

Преобразуем логарифм в правой части, используя свойство $log_a(bc) = log_a(b) + log_a(c)$:

$log_2(2x^3 - 18) = log_2(2(x^3 - 9)) = log_2(2) + log_2(x^3 - 9) = 1 + log_2(x^3 - 9)$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^2 + 13 + log_2(x^3 - 9) = 8x + 1 + log_2(x^3 - 9)$

Сократим $log_2(x^3 - 9)$:

$x^2 + 13 = 8x + 1$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 8$ и $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни:

$x_1 = 2, \quad x_2 = 6$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > \sqrt[3]{9}$):

• Для $x_1 = 2$: $2^3 = 8$, что меньше 9. Следовательно, $2 < \sqrt[3]{9}$. Этот корень не входит в ОДЗ.
• Для $x_2 = 6$: $6^3 = 216$, что больше 9. Следовательно, $6 > \sqrt[3]{9}$. Этот корень входит в ОДЗ.

Ответ: 6

г)

Дано уравнение: $x^2 + 2x + log_3(x^3 + 4) = 23 + log_3(3x^3 + 12)$.

Найдем ОДЗ из условий положительности аргументов логарифмов:

$\begin{cases} x^3 + 4 > 0 \\ 3x^3 + 12 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^3 > -4 \\ 3(x^3 + 4) > 0 \end{cases} \implies x^3 > -4 \implies x > \sqrt[3]{-4} \implies x > -\sqrt[3]{4}$

Преобразуем логарифм в правой части:

$log_3(3x^3 + 12) = log_3(3(x^3 + 4)) = log_3(3) + log_3(x^3 + 4) = 1 + log_3(x^3 + 4)$

Подставим в уравнение:

$x^2 + 2x + log_3(x^3 + 4) = 23 + 1 + log_3(x^3 + 4)$

Сократим $log_3(x^3 + 4)$:

$x^2 + 2x = 24$

$x^2 + 2x - 24 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -24$. Корни:

$x_1 = 4, \quad x_2 = -6$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -\sqrt[3]{4}$):

• Для $x_1 = 4$: $4$ — положительное число, а $-\sqrt[3]{4}$ — отрицательное. Очевидно, $4 > -\sqrt[3]{4}$. Корень входит в ОДЗ.
• Для $x_2 = -6$: Сравним $-6$ и $-\sqrt[3]{4}$. Так как $6 = \sqrt[3]{216}$, а $216 > 4$, то $\sqrt[3]{216} > \sqrt[3]{4}$. Умножив на -1, получаем $-\sqrt[3]{216} < -\sqrt[3]{4}$, то есть $-6 < -\sqrt[3]{4}$. Этот корень не входит в ОДЗ.

Ответ: 4

8.25 a) $\frac{x-1}{x^2+x-2} = -3;$

Б) $\frac{3x+21}{x^2+5x-14} = 1;$

В) $\frac{4x-8}{x^2-x-2} = 3;$

Г) $\frac{5x+15}{x^2-9} = -1.$

а)

Решим уравнение $\frac{x-1}{x^2 + x - 2} = -3$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для этого знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 + x - 2 \neq 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 2$, решив уравнение $x^2 + x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$, $x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq -2$ и $x \neq 1$.

Разложим знаменатель на множители, используя его корни: $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$.
Подставим в исходное уравнение:
$\frac{x-1}{(x-1)(x+2)} = -3$.

Так как $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x-1)$:
$\frac{1}{x+2} = -3$.

Решим полученное линейное уравнение:
$1 = -3(x+2)$
$1 = -3x - 6$
$3x = -7$
$x = -\frac{7}{3}$.

Полученный корень $x = -\frac{7}{3}$ удовлетворяет ОДЗ, так как не равен $-2$ и $1$.

Ответ: $-\frac{7}{3}$.

б)

Решим уравнение $\frac{3x + 21}{x^2 + 5x - 14} = 1$.

ОДЗ: $x^2 + 5x - 14 \neq 0$.
Найдем корни знаменателя, решив уравнение $x^2 + 5x - 14 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - 9}{2} = -7$, $x_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2$.
ОДЗ: $x \neq -7$ и $x \neq 2$.

Преобразуем уравнение, умножив обе части на знаменатель (при условии, что он не равен нулю):
$3x + 21 = x^2 + 5x - 14$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 5x - 3x - 14 - 21 = 0$
$x^2 + 2x - 35 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -2$
$x_1 \cdot x_2 = -35$
Корни: $x_1 = -7$, $x_2 = 5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -7$ и $x \neq 2$).
Корень $x_1 = -7$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $5$.

в)

Решим уравнение $\frac{4x - 8}{x^2 - x - 2} = 3$.

ОДЗ: $x^2 - x - 2 \neq 0$.
Найдем корни знаменателя: $x^2 - x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$, $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$.
ОДЗ: $x \neq -1$ и $x \neq 2$.

Разложим числитель и знаменатель на множители:
$4x - 8 = 4(x-2)$
$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.

Подставим в уравнение:
$\frac{4(x-2)}{(x-2)(x+1)} = 3$.

Так как $x \neq 2$, сократим дробь на $(x-2)$:
$\frac{4}{x+1} = 3$.

Решим полученное уравнение:
$4 = 3(x+1)$
$4 = 3x + 3$
$1 = 3x$
$x = \frac{1}{3}$.

Корень $x = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

г)

Решим уравнение $\frac{5x + 15}{x^2 - 9} = -1$.

ОДЗ: $x^2 - 9 \neq 0$.
Используя формулу разности квадратов, получаем $(x-3)(x+3) \neq 0$.
ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Разложим числитель и знаменатель на множители:
$5x + 15 = 5(x+3)$
$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

Подставим в уравнение:
$\frac{5(x+3)}{(x-3)(x+3)} = -1$.

Так как $x \neq -3$, сократим дробь на $(x+3)$:
$\frac{5}{x-3} = -1$.

Решим полученное уравнение:
$5 = -1(x-3)$
$5 = -x + 3$
$x = 3 - 5$
$x = -2$.

Корень $x = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-2$.

8.26 a) $\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\sin x}{\cos x};$

В) $\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin 4x}{\cos 4x};$

б) $\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = -\frac{\sin x}{\cos x};$

Г) $\frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{\sin 4x}{\cos 4x}.$

а)Исходное уравнение: $ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\sin x}{\cos x} $.
Первым шагом определим Область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
1. $ \cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
2. $ \cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z} $
Второе условие является более строгим и включает в себя первое.
Уравнение можно переписать, используя определение тангенса $ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $:
$ \tan 2x = \tan x $
Общее решение для уравнения вида $ \tan A = \tan B $ есть $ A = B + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Применим это к нашему уравнению:
$ 2x = x + \pi n $
$ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Проверим, удовлетворяет ли полученное решение ОДЗ. Подставим $ x = \pi n $ в выражения для знаменателей:
$ \cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0 $
$ \cos(2\pi n) = 1 \neq 0 $
Оба условия выполняются, следовательно, найденное решение является верным.
Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б)Исходное уравнение: $ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = -\frac{\sin x}{\cos x} $.
ОДЗ такое же, как и в предыдущем пункте: $ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z} $.
Перепишем уравнение с использованием тангенса:
$ \tan 2x = -\tan x $
Используя свойство нечетности функции тангенса ($ -\tan x = \tan(-x) $), получаем:
$ \tan 2x = \tan(-x) $
Решаем по общей формуле $ A = B + \pi n $:
$ 2x = -x + \pi n $
$ 3x = \pi n $
$ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $
Проверим решение на соответствие ОДЗ. Необходимо, чтобы $ \cos x \neq 0 $ и $ \cos 2x \neq 0 $.
1. $ \cos(\frac{\pi n}{3}) = 0 $ если $ \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies 2n = 3 + 6k \implies 2(n-3k) = 3 $. Это равенство невозможно для целых $ n $ и $ k $, так как слева четное число, а справа нечетное.
2. $ \cos(2 \cdot \frac{\pi n}{3}) = 0 $ если $ \frac{2\pi n}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies 4n = 3 + 6k \implies 2(2n-3k) = 3 $. Это равенство также невозможно.
Решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

в)Исходное уравнение: $ \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin 4x}{\cos 4x} $.
ОДЗ:
1. $ \cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
2. $ \cos 4x \neq 0 \implies 4x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4}, m \in \mathbb{Z} $
Запишем уравнение через тангенсы:
$ \tan x = \tan 4x $
Решаем:
$ 4x = x + \pi n $
$ 3x = \pi n $
$ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $
Проверка ОДЗ аналогична проверке в пункте б). Условия $ \cos(\frac{\pi n}{3}) \neq 0 $ и $ \cos(\frac{4\pi n}{3}) \neq 0 $ выполняются для всех целых $ n $, так как $ \frac{\pi n}{3} $ и $ \frac{4\pi n}{3} $ никогда не будут равны $ \frac{\pi}{2} + \pi k $.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $.

г)Исходное уравнение: $ \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{\sin 4x}{\cos 4x} $.
ОДЗ такая же, как в пункте в): $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $ и $ x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{4} $ для $ k,m \in \mathbb{Z} $.
Перепишем уравнение:
$ \tan x = -\tan 4x $
$ \tan x = \tan(-4x) $
Решаем:
$ x = -4x + \pi n $
$ 5x = \pi n $
$ x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $
Проверим ОДЗ.
1. $ \cos(\frac{\pi n}{5}) = 0 $ если $ \frac{\pi n}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies 2n = 5 + 10k \implies 2(n-5k) = 5 $. Равенство невозможно.
2. $ \cos(4 \cdot \frac{\pi n}{5}) = 0 $ если $ \frac{4\pi n}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies 8n = 5 + 10k \implies 2(4n-5k) = 5 $. Равенство невозможно.
Решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $.

8.27 a) $ \operatorname{tg} 3x = \operatorname{tg} 5x; $

В) $ \sin x = \frac{\cos x}{\sin x}; $

б) $ \operatorname{ctg} 3x = \operatorname{ctg} 5x; $

г) $ \cos x = \frac{\sin x}{\cos x}. $

а) Решим уравнение $tg\,3x = tg\,5x$.
Условие равенства тангенсов $tg\,\alpha = tg\,\beta$ выполняется, если $\alpha = \beta + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Применим это к нашему уравнению:
$5x = 3x + \pi n$
$5x - 3x = \pi n$
$2x = \pi n$
$x = \frac{\pi n}{2}$
Теперь необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для тангенса. Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
1) $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$
2) $5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$
Проверим, какие из наших решений $x = \frac{\pi n}{2}$ нужно исключить.
Подставим $x = \frac{\pi n}{2}$ в условия ОДЗ.
Если $n$ - четное число, то есть $n=2p$, то $x = \frac{\pi (2p)}{2} = \pi p$.
$\cos(3\pi p) = (-1)^{3p} \neq 0$ и $\cos(5\pi p) = (-1)^{5p} \neq 0$. Значит, все решения вида $x = \pi p$ подходят.
Если $n$ - нечетное число, то есть $n=2p+1$, то $x = \frac{\pi (2p+1)}{2} = \pi p + \frac{\pi}{2}$.
$\cos(3x) = \cos(3(\pi p + \frac{\pi}{2})) = \cos(3\pi p + \frac{3\pi}{2}) = 0$.
$\cos(5x) = \cos(5(\pi p + \frac{\pi}{2})) = \cos(5\pi p + \frac{5\pi}{2}) = 0$.
Значения тангенсов не определены, поэтому решения, где $n$ нечетное, нужно исключить.
Таким образом, в серии решений $x = \frac{\pi n}{2}$ оставляем только те, где $n$ - четное. Если $n=2k$, то $x = \frac{\pi (2k)}{2} = \pi k$.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $ctg\,3x = ctg\,5x$.
Условие равенства котангенсов $ctg\,\alpha = ctg\,\beta$ выполняется, если $\alpha = \beta + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$5x = 3x + \pi n$
$2x = \pi n$
$x = \frac{\pi n}{2}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для котангенса: аргумент не должен быть равен $\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
1) $3x \neq \pi k \implies x \neq \frac{\pi k}{3}$
2) $5x \neq \pi m \implies x \neq \frac{\pi m}{5}$
Проверим наши решения $x = \frac{\pi n}{2}$ на соответствие ОДЗ.
Если $n$ - четное число, $n=2p$, то $x = \frac{\pi (2p)}{2} = \pi p$.
$\sin(3x) = \sin(3\pi p) = 0$. Значения котангенсов не определены. Эти решения нужно исключить.
Если $n$ - нечетное число, $n=2p+1$, то $x = \frac{\pi (2p+1)}{2} = \pi p + \frac{\pi}{2}$.
$\sin(3x) = \sin(3\pi p + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(3\pi p) \neq 0$.
$\sin(5x) = \sin(5\pi p + \frac{5\pi}{2}) = \cos(5\pi p) \neq 0$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ.
Таким образом, оставляем только решения, где $n$ - нечетное, $n = 2k+1$.
$x = \frac{\pi (2k+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $\sin x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Умножим обе части уравнения на $\sin x$:
$\sin^2 x = \cos x$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$1 - \cos^2 x = \cos x$
Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\cos x$:
$\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-1 \le t \le 1$.
$t^2 + t - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
Получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 + 2.236}{2} \approx 0.618$. Это значение находится в интервале $[-1, 1]$, поэтому является решением.
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 - 2.236}{2} \approx -1.618$. Это значение меньше -1, поэтому не является решением.
Возвращаемся к замене:
$\cos x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
Общее решение для этого уравнения:
$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
При этом значении $\cos x$, $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \neq 0$, так что ОДЗ выполняется.
Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $\cos x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Умножим обе части на $\cos x$:
$\cos^2 x = \sin x$
Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$1 - \sin^2 x = \sin x$
$\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
Сделаем замену $y = \sin x$, где $-1 \le y \le 1$.
$y^2 + y - 1 = 0$
Это то же самое квадратное уравнение, что и в пункте в). Его корни:
$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.
$y_1 \approx 0.618$ (подходит), $y_2 \approx -1.618$ (не подходит).
Возвращаемся к замене:
$\sin x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
Общее решение для этого уравнения:
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
При этом значении $\sin x$, $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \neq 0$, так что ОДЗ выполняется.
Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

8.28* а) $10^{\lg (x^2 + 5x - 1)} = 3x + 2;$

б) $10^{\lg (x^2 - 3x + 1)} = x - 2;$

В) $2^{\log_2 (2x^2 + 5x - 1)} = x^2 - 7;$

Г) $5^{\log_5 (3x^2 + 4x - 1)} = 2x^2 - 4.$

а) $10^{\lg(x^2 + 5x - 1)} = 3x + 2$

Данное уравнение основано на основном логарифмическом тождестве $a^{\log_a b} = b$, которое справедливо при условии, что выражение под знаком логарифма положительно ($b > 0$). В данном случае основание $a = 10$, а выражение под знаком десятичного логарифма ($\lg$) равно $x^2 + 5x - 1$.

Таким образом, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 5x - 1 = 3x + 2 \\ x^2 + 5x - 1 > 0 \end{cases}$

Поскольку левая часть первого уравнения равна правой, условие $x^2 + 5x - 1 > 0$ можно заменить на более простое условие $3x + 2 > 0$.

Решим первое уравнение:

$x^2 + 5x - 1 = 3x + 2$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Используя теорему Виета или решив через дискриминант, находим корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -3$

Теперь проверим найденные корни по условию области допустимых значений $3x + 2 > 0$, то есть $x > -2/3$.

Для $x_1 = 1$: $3(1) + 2 = 5 > 0$. Корень является решением.

Для $x_2 = -3$: $3(-3) + 2 = -7 < 0$. Корень является посторонним.

Ответ: $1$.

б) $10^{\lg(x^2 - 3x + 1)} = x - 2$

Используя основное логарифмическое тождество, перейдем к равносильной системе:

$\begin{cases} x^2 - 3x + 1 = x - 2 \\ x^2 - 3x + 1 > 0 \end{cases}$

Условие $x^2 - 3x + 1 > 0$ можно заменить на эквивалентное ему (в силу первого уравнения) условие $x - 2 > 0$.

Решим уравнение:

$x^2 - 3x + 1 = x - 2$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения:

$x_1 = 1$

$x_2 = 3$

Проверим корни по условию $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$.

Для $x_1 = 1$: $1 - 2 = -1 < 0$. Корень не подходит.

Для $x_2 = 3$: $3 - 2 = 1 > 0$. Корень подходит.

Ответ: $3$.

в) $2^{\log_2(2x^2 + 5x - 1)} = x^2 - 7$

На основании логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$ данное уравнение эквивалентно системе:

$\begin{cases} 2x^2 + 5x - 1 = x^2 - 7 \\ 2x^2 + 5x - 1 > 0 \end{cases}$

Заменяем условие на $x^2 - 7 > 0$.

Решим уравнение:

$2x^2 + 5x - 1 = x^2 - 7$

$x^2 + 5x + 6 = 0$

Находим корни:

$x_1 = -2$

$x_2 = -3$

Проверим корни по условию $x^2 - 7 > 0$, то есть $x^2 > 7$. Это неравенство выполняется при $x < -\sqrt{7}$ или $x > \sqrt{7}$. Так как $\sqrt{7} \approx 2.65$.

Для $x_1 = -2$: $(-2)^2 = 4$. Неравенство $4 > 7$ неверно. Корень не подходит.

Для $x_2 = -3$: $(-3)^2 = 9$. Неравенство $9 > 7$ верно. Корень подходит.

Ответ: $-3$.

г) $5^{\log_5(3x^2 + 4x - 1)} = 2x^2 - 4$

Используем основное логарифмическое тождество, чтобы свести уравнение к системе:

$\begin{cases} 3x^2 + 4x - 1 = 2x^2 - 4 \\ 3x^2 + 4x - 1 > 0 \end{cases}$

Заменяем условие на $2x^2 - 4 > 0$.

Решим уравнение:

$3x^2 + 4x - 1 = 2x^2 - 4$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Находим корни:

$x_1 = -1$

$x_2 = -3$

Проверим корни по условию $2x^2 - 4 > 0$, то есть $x^2 > 2$. Это неравенство выполняется при $x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.41$.

Для $x_1 = -1$: $(-1)^2 = 1$. Неравенство $1 > 2$ неверно. Корень не подходит.

Для $x_2 = -3$: $(-3)^2 = 9$. Неравенство $9 > 2$ верно. Корень подходит.

Ответ: $-3$.

8.29* a) $\frac{2}{(\log_x 5)^2} - \log_5 x = 0;$

б) $\frac{1}{(\log_x 3)^2} + \log_3 x = 0;$

В) $\frac{2}{(\log_x 4)^2} + \log_4 x = 0;$

Г) $\frac{1}{(2\log_x 6)^2} - \log_6 x = 0.$

а) $\frac{2}{(\log_x 5)^2} - \log_5 x = 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице ($x > 0$, $x \neq 1$). Аргумент логарифма $x$ должен быть положительным ($x > 0$). Знаменатель не должен быть равен нулю: $(\log_x 5)^2 \neq 0$, что означает $\log_x 5 \neq 0$, а это верно при $x \neq 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Для решения уравнения приведем логарифмы к одному основанию. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

В нашем случае: $\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$.

3. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{2}{(\frac{1}{\log_5 x})^2} - \log_5 x = 0$

$2(\log_5 x)^2 - \log_5 x = 0$

4. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$. Уравнение примет вид:

$2t^2 - t = 0$

$t(2t - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = 0$ или $t_2 = \frac{1}{2}$.

5. Вернемся к исходной переменной:

Если $\log_5 x = 0$, то $x = 5^0 = 1$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $x \neq 1$.

Если $\log_5 x = \frac{1}{2}$, то $x = 5^{1/2} = \sqrt{5}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \sqrt{5}$.

б) $\frac{1}{(\log_x 3)^2} + \log_3 x = 0$

1. ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$.

2. Приведем логарифмы к основанию 3, используя формулу $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$.

3. Подставим в уравнение:

$\frac{1}{(\frac{1}{\log_3 x})^2} + \log_3 x = 0$

$(\log_3 x)^2 + \log_3 x = 0$

4. Сделаем замену $t = \log_3 x$:

$t^2 + t = 0$

$t(t + 1) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = -1$.

5. Выполним обратную замену:

Если $\log_3 x = 0$, то $x = 3^0 = 1$. Этот корень не входит в ОДЗ.

Если $\log_3 x = -1$, то $x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

в) $\frac{2}{(\log_x 4)^2} + \log_4 x = 0$

1. ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$.

2. Приведем логарифмы к основанию 4, используя формулу $\log_x 4 = \frac{1}{\log_4 x}$.

3. Подставим в уравнение:

$\frac{2}{(\frac{1}{\log_4 x})^2} + \log_4 x = 0$

$2(\log_4 x)^2 + \log_4 x = 0$

4. Сделаем замену $t = \log_4 x$:

$2t^2 + t = 0$

$t(2t + 1) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = -\frac{1}{2}$.

5. Выполним обратную замену:

Если $\log_4 x = 0$, то $x = 4^0 = 1$. Этот корень не входит в ОДЗ.

Если $\log_4 x = -\frac{1}{2}$, то $x = 4^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

г) $\frac{1}{(2\log_x 6)^2} - \log_6 x = 0$

1. ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$.

2. Преобразуем знаменатель и приведем логарифмы к основанию 6:

$\frac{1}{4(\log_x 6)^2} - \log_6 x = 0$

Используем свойство $\log_x 6 = \frac{1}{\log_6 x}$.

3. Подставим в уравнение:

$\frac{1}{4(\frac{1}{\log_6 x})^2} - \log_6 x = 0$

$\frac{(\log_6 x)^2}{4} - \log_6 x = 0$

4. Сделаем замену $t = \log_6 x$:

$\frac{t^2}{4} - t = 0$

Домножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

$t^2 - 4t = 0$

$t(t - 4) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 0$ и $t_2 = 4$.

5. Выполним обратную замену:

Если $\log_6 x = 0$, то $x = 6^0 = 1$. Этот корень не входит в ОДЗ.

Если $\log_6 x = 4$, то $x = 6^4 = 1296$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 1296$.