Номер 8.28, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.28, страница 236.
№8.28 (с. 236)
Условие. №8.28 (с. 236)
скриншот условия

8.28* а) $10^{\lg (x^2 + 5x - 1)} = 3x + 2;$
б) $10^{\lg (x^2 - 3x + 1)} = x - 2;$
В) $2^{\log_2 (2x^2 + 5x - 1)} = x^2 - 7;$
Г) $5^{\log_5 (3x^2 + 4x - 1)} = 2x^2 - 4.$
Решение 1. №8.28 (с. 236)




Решение 2. №8.28 (с. 236)


Решение 3. №8.28 (с. 236)

Решение 4. №8.28 (с. 236)
а) $10^{\lg(x^2 + 5x - 1)} = 3x + 2$
Данное уравнение основано на основном логарифмическом тождестве $a^{\log_a b} = b$, которое справедливо при условии, что выражение под знаком логарифма положительно ($b > 0$). В данном случае основание $a = 10$, а выражение под знаком десятичного логарифма ($\lg$) равно $x^2 + 5x - 1$.
Таким образом, уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + 5x - 1 = 3x + 2 \\ x^2 + 5x - 1 > 0 \end{cases}$
Поскольку левая часть первого уравнения равна правой, условие $x^2 + 5x - 1 > 0$ можно заменить на более простое условие $3x + 2 > 0$.
Решим первое уравнение:
$x^2 + 5x - 1 = 3x + 2$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Используя теорему Виета или решив через дискриминант, находим корни:
$x_1 = 1$
$x_2 = -3$
Теперь проверим найденные корни по условию области допустимых значений $3x + 2 > 0$, то есть $x > -2/3$.
Для $x_1 = 1$: $3(1) + 2 = 5 > 0$. Корень является решением.
Для $x_2 = -3$: $3(-3) + 2 = -7 < 0$. Корень является посторонним.
Ответ: $1$.
б) $10^{\lg(x^2 - 3x + 1)} = x - 2$
Используя основное логарифмическое тождество, перейдем к равносильной системе:
$\begin{cases} x^2 - 3x + 1 = x - 2 \\ x^2 - 3x + 1 > 0 \end{cases}$
Условие $x^2 - 3x + 1 > 0$ можно заменить на эквивалентное ему (в силу первого уравнения) условие $x - 2 > 0$.
Решим уравнение:
$x^2 - 3x + 1 = x - 2$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Корни этого квадратного уравнения:
$x_1 = 1$
$x_2 = 3$
Проверим корни по условию $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$.
Для $x_1 = 1$: $1 - 2 = -1 < 0$. Корень не подходит.
Для $x_2 = 3$: $3 - 2 = 1 > 0$. Корень подходит.
Ответ: $3$.
в) $2^{\log_2(2x^2 + 5x - 1)} = x^2 - 7$
На основании логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$ данное уравнение эквивалентно системе:
$\begin{cases} 2x^2 + 5x - 1 = x^2 - 7 \\ 2x^2 + 5x - 1 > 0 \end{cases}$
Заменяем условие на $x^2 - 7 > 0$.
Решим уравнение:
$2x^2 + 5x - 1 = x^2 - 7$
$x^2 + 5x + 6 = 0$
Находим корни:
$x_1 = -2$
$x_2 = -3$
Проверим корни по условию $x^2 - 7 > 0$, то есть $x^2 > 7$. Это неравенство выполняется при $x < -\sqrt{7}$ или $x > \sqrt{7}$. Так как $\sqrt{7} \approx 2.65$.
Для $x_1 = -2$: $(-2)^2 = 4$. Неравенство $4 > 7$ неверно. Корень не подходит.
Для $x_2 = -3$: $(-3)^2 = 9$. Неравенство $9 > 7$ верно. Корень подходит.
Ответ: $-3$.
г) $5^{\log_5(3x^2 + 4x - 1)} = 2x^2 - 4$
Используем основное логарифмическое тождество, чтобы свести уравнение к системе:
$\begin{cases} 3x^2 + 4x - 1 = 2x^2 - 4 \\ 3x^2 + 4x - 1 > 0 \end{cases}$
Заменяем условие на $2x^2 - 4 > 0$.
Решим уравнение:
$3x^2 + 4x - 1 = 2x^2 - 4$
$x^2 + 4x + 3 = 0$
Находим корни:
$x_1 = -1$
$x_2 = -3$
Проверим корни по условию $2x^2 - 4 > 0$, то есть $x^2 > 2$. Это неравенство выполняется при $x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.41$.
Для $x_1 = -1$: $(-1)^2 = 1$. Неравенство $1 > 2$ неверно. Корень не подходит.
Для $x_2 = -3$: $(-3)^2 = 9$. Неравенство $9 > 2$ верно. Корень подходит.
Ответ: $-3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 8.28 расположенного на странице 236 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8.28 (с. 236), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.