Номер 8.28, страница 236 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.28, страница 236.

Условие.

8.28* а) $10^{\lg (x^2 + 5x - 1)} = 3x + 2;$

б) $10^{\lg (x^2 - 3x + 1)} = x - 2;$

В) $2^{\log_2 (2x^2 + 5x - 1)} = x^2 - 7;$

Г) $5^{\log_5 (3x^2 + 4x - 1)} = 2x^2 - 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $10^{\lg(x^2 + 5x - 1)} = 3x + 2$

Данное уравнение основано на основном логарифмическом тождестве $a^{\log_a b} = b$, которое справедливо при условии, что выражение под знаком логарифма положительно ($b > 0$). В данном случае основание $a = 10$, а выражение под знаком десятичного логарифма ($\lg$) равно $x^2 + 5x - 1$.

Таким образом, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 5x - 1 = 3x + 2 \\ x^2 + 5x - 1 > 0 \end{cases}$

Поскольку левая часть первого уравнения равна правой, условие $x^2 + 5x - 1 > 0$ можно заменить на более простое условие $3x + 2 > 0$.

Решим первое уравнение:

$x^2 + 5x - 1 = 3x + 2$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Используя теорему Виета или решив через дискриминант, находим корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -3$

Теперь проверим найденные корни по условию области допустимых значений $3x + 2 > 0$, то есть $x > -2/3$.

Для $x_1 = 1$: $3(1) + 2 = 5 > 0$. Корень является решением.

Для $x_2 = -3$: $3(-3) + 2 = -7 < 0$. Корень является посторонним.

Ответ: $1$.

б) $10^{\lg(x^2 - 3x + 1)} = x - 2$

Используя основное логарифмическое тождество, перейдем к равносильной системе:

$\begin{cases} x^2 - 3x + 1 = x - 2 \\ x^2 - 3x + 1 > 0 \end{cases}$

Условие $x^2 - 3x + 1 > 0$ можно заменить на эквивалентное ему (в силу первого уравнения) условие $x - 2 > 0$.

Решим уравнение:

$x^2 - 3x + 1 = x - 2$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения:

$x_1 = 1$

$x_2 = 3$

Проверим корни по условию $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$.

Для $x_1 = 1$: $1 - 2 = -1 < 0$. Корень не подходит.

Для $x_2 = 3$: $3 - 2 = 1 > 0$. Корень подходит.

Ответ: $3$.

в) $2^{\log_2(2x^2 + 5x - 1)} = x^2 - 7$

На основании логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$ данное уравнение эквивалентно системе:

$\begin{cases} 2x^2 + 5x - 1 = x^2 - 7 \\ 2x^2 + 5x - 1 > 0 \end{cases}$

Заменяем условие на $x^2 - 7 > 0$.

Решим уравнение:

$2x^2 + 5x - 1 = x^2 - 7$

$x^2 + 5x + 6 = 0$

Находим корни:

$x_1 = -2$

$x_2 = -3$

Проверим корни по условию $x^2 - 7 > 0$, то есть $x^2 > 7$. Это неравенство выполняется при $x < -\sqrt{7}$ или $x > \sqrt{7}$. Так как $\sqrt{7} \approx 2.65$.

Для $x_1 = -2$: $(-2)^2 = 4$. Неравенство $4 > 7$ неверно. Корень не подходит.

Для $x_2 = -3$: $(-3)^2 = 9$. Неравенство $9 > 7$ верно. Корень подходит.

Ответ: $-3$.

г) $5^{\log_5(3x^2 + 4x - 1)} = 2x^2 - 4$

Используем основное логарифмическое тождество, чтобы свести уравнение к системе:

$\begin{cases} 3x^2 + 4x - 1 = 2x^2 - 4 \\ 3x^2 + 4x - 1 > 0 \end{cases}$

Заменяем условие на $2x^2 - 4 > 0$.

Решим уравнение:

$3x^2 + 4x - 1 = 2x^2 - 4$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Находим корни:

$x_1 = -1$

$x_2 = -3$

Проверим корни по условию $2x^2 - 4 > 0$, то есть $x^2 > 2$. Это неравенство выполняется при $x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.41$.

Для $x_1 = -1$: $(-1)^2 = 1$. Неравенство $1 > 2$ неверно. Корень не подходит.

Для $x_2 = -3$: $(-3)^2 = 9$. Неравенство $9 > 2$ верно. Корень подходит.

Ответ: $-3$.