Номер 8.31, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.31, страница 237.

Условие.

8.31* ИССЛЕДУЕМ. При каких значениях параметра a уравнение:

а) $x - a + \sqrt{x - a} = 2x + 1 + \sqrt{x - a};$

б) $\frac{a - 2}{ax - 3} = 1;$ в) $\frac{1}{(\log_x 5)^2} - 2a \cdot \log_5 x + 1 = 0$

имеет единственный корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим уравнение $x - a + \sqrt{x - a} = 2x + 1 + \sqrt{x - a}$.
Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - a \ge 0$, что означает $x \ge a$.

В левой и правой частях уравнения присутствует одинаковый член $\sqrt{x - a}$. Мы можем вычесть его из обеих частей уравнения:
$x - a = 2x + 1$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$x - 2x = a + 1$
$-x = a + 1$
$x = -a - 1$

Это единственный возможный корень. Чтобы он был решением исходного уравнения, он должен удовлетворять ОДЗ, то есть $x \ge a$. Подставим найденное значение $x$ в это неравенство:
$-a - 1 \ge a$
$-1 \ge 2a$
$a \le -\frac{1}{2}$

Таким образом, если $a \le -1/2$, уравнение имеет единственный корень $x = -a - 1$. Если же $a > -1/2$, то корень $x = -a - 1$ не удовлетворяет ОДЗ, и уравнение не имеет решений.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень при $a \le -1/2$.

Ответ: $a \in (-\infty; -0.5]$.

б)

Рассмотрим уравнение $\frac{a - 2}{ax - 3} = 1$.
ОДЗ: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $ax - 3 \ne 0$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $ax - 3$, при условии, что он не равен нулю:
$a - 2 = ax - 3$
$a + 1 = ax$

Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$:
1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 + 1 = 0 \cdot x$, или $1 = 0$. Это неверно, следовательно, при $a = 0$ решений нет. Исходное уравнение при $a=0$ выглядит как $\frac{-2}{-3} = 1$, что также неверно.

2. Если $a \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения $ax = a + 1$ на $a$:
$x = \frac{a+1}{a}$
Это единственный потенциальный корень. Теперь необходимо проверить, при каких значениях $a$ этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ax - 3 \ne 0$). Подставим $ax = a+1$ в это условие:
$(a + 1) - 3 \ne 0$
$a - 2 \ne 0$
$a \ne 2$

Итак, при $a \ne 0$ и $a \ne 2$ уравнение имеет единственный корень $x = \frac{a+1}{a}$. Если $a=2$, то потенциальный корень $x = \frac{2+1}{2} = 1.5$ не входит в ОДЗ ($2x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1.5$), поэтому решений нет.
Объединяя результаты, получаем, что уравнение имеет единственный корень при всех значениях $a$, кроме $a=0$ и $a=2$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

в)

Рассмотрим уравнение $\frac{1}{(\log_x 5)^2} - 2a \cdot \log_5 x + 1 = 0$.
ОДЗ: основание логарифма должно быть положительным и не равным единице ($x > 0, x \ne 1$), а выражение под логарифмом — положительным (что выполняется, т.к. это число 5). Также знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $\log_x 5 \ne 0$, что эквивалентно $x \ne 1$. Таким образом, ОДЗ: $x > 0, x \ne 1$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_b c = \frac{1}{\log_c b}$ для преобразования первого члена:
$\frac{1}{(\log_x 5)^2} = (\log_5 x)^2$.
Уравнение принимает вид:
$(\log_5 x)^2 - 2a \log_5 x + 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$. Уравнение становится квадратным относительно $t$:
$t^2 - 2at + 1 = 0$

Исходное уравнение будет иметь единственный корень по $x$, если это квадратное уравнение будет иметь единственный корень по $t$, который удовлетворяет ограничениям, накладываемым ОДЗ. Связь $x=5^t$ является взаимно-однозначной. Условие $x > 0$ выполняется для любого действительного $t$. Условие $x \ne 1$ означает $5^t \ne 1$, что равносильно $t \ne 0$.
Проверим, может ли $t=0$ быть корнем уравнения $t^2 - 2at + 1 = 0$. Подстановка $t=0$ дает $0^2 - 2a(0) + 1 = 0$, или $1=0$, что является ложным равенством. Значит, $t=0$ не является корнем ни при каком $a$.

Следовательно, для получения единственного решения по $x$, нам необходимо, чтобы квадратное уравнение по $t$ имело ровно одно решение. Это происходит, когда дискриминант $D$ равен нулю.
$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4a^2 - 4$
$D = 0 \implies 4a^2 - 4 = 0$
$4a^2 = 4$
$a^2 = 1$
$a = 1$ или $a = -1$.

При $a \in \{-1, 1\}$ уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $a = -1, a = 1$.