Номер 8.30, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.30, страница 237.
№8.30 (с. 237)
Условие. №8.30 (с. 237)
скриншот условия

8.30* a) $\frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} = \cos x - \sin^2 x;$
б) $\frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} = \cos^2 x + \sin x;$
В) $\frac{2 \text{tg} x}{1 + \text{tg}^2 x} = 2 \cos^2 x - \sqrt{2} \cos x;$
Г) $\frac{2 \text{tg} x}{1 + \text{tg}^2 x} = \sqrt{2} \cos x - 2 \cos^2 x.$
Решение 1. №8.30 (с. 237)




Решение 2. №8.30 (с. 237)





Решение 3. №8.30 (с. 237)

Решение 4. №8.30 (с. 237)
а) $\frac{1 - \tg^2 x}{1 + \tg^2 x} = \cos x - \sin^2 x$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса: $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой, а именно формулой косинуса двойного угла через тангенс: $\cos(2x) = \frac{1 - \tg^2 x}{1 + \tg^2 x}$.
Также преобразуем правую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$\cos x - \sin^2 x = \cos x - (1 - \cos^2 x) = \cos^2 x + \cos x - 1$.
Теперь уравнение принимает вид:
$\cos(2x) = \cos^2 x + \cos x - 1$
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$:
$2\cos^2 x - 1 = \cos^2 x + \cos x - 1$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
$\cos^2 x - \cos x = 0$
Вынесем $\cos x$ за скобки:
$\cos x (\cos x - 1) = 0$
Это равенство выполняется в двух случаях:
1) $\cos x = 0$. Эти решения не входят в ОДЗ, так как тангенс при таких значениях $x$ не определен.
2) $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$.
Решением уравнения $\cos x = 1$ является $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $\cos(2\pi n) = 1 \neq 0$.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $\frac{1 - \tg^2 x}{1 + \tg^2 x} = \cos^2 x + \sin x$
ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Используем формулу $\cos(2x) = \frac{1 - \tg^2 x}{1 + \tg^2 x}$ для левой части. Уравнение принимает вид:
$\cos(2x) = \cos^2 x + \sin x$
Применим формулы $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ и $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к переменной $\sin x$:
$1 - 2\sin^2 x = (1 - \sin^2 x) + \sin x$
$1 - 2\sin^2 x = 1 - \sin^2 x + \sin x$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = \sin^2 x + \sin x$
$\sin x (\sin x + 1) = 0$
Получаем два случая:
1) $\sin x = 0$. Решения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Проверим ОДЗ: $\cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0$. Эти решения подходят.
2) $\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1$. Решения: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим ОДЗ: $\cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 0$. Эти решения не входят в ОДЗ и являются посторонними.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
в) $\frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x} = 2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x$
ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла через тангенс: $\sin(2x) = \frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x}$.
Уравнение принимает вид:
$\sin(2x) = 2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:
$2\sin x \cos x = 2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x$
Перенесем все в левую часть и вынесем $\cos x$ за скобки:
$2\sin x \cos x - 2\cos^2 x + \sqrt{2}\cos x = 0$
$\cos x (2\sin x - 2\cos x + \sqrt{2}) = 0$
Получаем два случая:
1) $\cos x = 0$. Не удовлетворяет ОДЗ.
2) $2\sin x - 2\cos x + \sqrt{2} = 0$.
Решаем второе уравнение:
$2(\sin x - \cos x) = -\sqrt{2}$
$\sin x - \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ($\frac{1}{\sqrt{2}}$), чтобы применить формулу синуса разности:
$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$
Решения этого уравнения:
$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n$
$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как если бы $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Подставляя в уравнение $\sin x - \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получили бы $\pm 1 - 0 \neq -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
г) $\frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x} = \sqrt{2}\cos x - 2\cos^2 x$
ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Используем формулу $\sin(2x) = \frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x}$:
$\sin(2x) = \sqrt{2}\cos x - 2\cos^2 x$
Применяем $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:
$2\sin x \cos x = \sqrt{2}\cos x - 2\cos^2 x$
Переносим все в левую часть и факторизуем:
$2\sin x \cos x + 2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x = 0$
$\cos x (2\sin x + 2\cos x - \sqrt{2}) = 0$
Получаем два случая:
1) $\cos x = 0$. Не удовлетворяет ОДЗ.
2) $2\sin x + 2\cos x - \sqrt{2} = 0$.
Решаем второе уравнение:
$2(\sin x + \cos x) = \sqrt{2}$
$\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$, чтобы применить формулу синуса суммы:
$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$
Решения этого уравнения:
$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ по аналогии с пунктом в).
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 8.30 расположенного на странице 237 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8.30 (с. 237), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.