Номер 8.30, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 8. Уравнения-следствия - номер 8.30, страница 237.

Условие.

8.30* a) $\frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} = \cos x - \sin^2 x;$

б) $\frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} = \cos^2 x + \sin x;$

В) $\frac{2 \text{tg} x}{1 + \text{tg}^2 x} = 2 \cos^2 x - \sqrt{2} \cos x;$

Г) $\frac{2 \text{tg} x}{1 + \text{tg}^2 x} = \sqrt{2} \cos x - 2 \cos^2 x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{1 - \tg^2 x}{1 + \tg^2 x} = \cos x - \sin^2 x$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса: $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой, а именно формулой косинуса двойного угла через тангенс: $\cos(2x) = \frac{1 - \tg^2 x}{1 + \tg^2 x}$.

Также преобразуем правую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$\cos x - \sin^2 x = \cos x - (1 - \cos^2 x) = \cos^2 x + \cos x - 1$.

Теперь уравнение принимает вид:

$\cos(2x) = \cos^2 x + \cos x - 1$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$:

$2\cos^2 x - 1 = \cos^2 x + \cos x - 1$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$\cos^2 x - \cos x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos x - 1) = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях:

1) $\cos x = 0$. Эти решения не входят в ОДЗ, так как тангенс при таких значениях $x$ не определен.

2) $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$.

Решением уравнения $\cos x = 1$ является $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $\cos(2\pi n) = 1 \neq 0$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\frac{1 - \tg^2 x}{1 + \tg^2 x} = \cos^2 x + \sin x$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Используем формулу $\cos(2x) = \frac{1 - \tg^2 x}{1 + \tg^2 x}$ для левой части. Уравнение принимает вид:

$\cos(2x) = \cos^2 x + \sin x$

Применим формулы $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ и $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к переменной $\sin x$:

$1 - 2\sin^2 x = (1 - \sin^2 x) + \sin x$

$1 - 2\sin^2 x = 1 - \sin^2 x + \sin x$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = \sin^2 x + \sin x$

$\sin x (\sin x + 1) = 0$

Получаем два случая:

1) $\sin x = 0$. Решения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Проверим ОДЗ: $\cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0$. Эти решения подходят.

2) $\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1$. Решения: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим ОДЗ: $\cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 0$. Эти решения не входят в ОДЗ и являются посторонними.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x} = 2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла через тангенс: $\sin(2x) = \frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x}$.

Уравнение принимает вид:

$\sin(2x) = 2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x = 2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x$

Перенесем все в левую часть и вынесем $\cos x$ за скобки:

$2\sin x \cos x - 2\cos^2 x + \sqrt{2}\cos x = 0$

$\cos x (2\sin x - 2\cos x + \sqrt{2}) = 0$

Получаем два случая:

1) $\cos x = 0$. Не удовлетворяет ОДЗ.

2) $2\sin x - 2\cos x + \sqrt{2} = 0$.

Решаем второе уравнение:

$2(\sin x - \cos x) = -\sqrt{2}$

$\sin x - \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ($\frac{1}{\sqrt{2}}$), чтобы применить формулу синуса разности:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения:

$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n$

$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как если бы $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Подставляя в уравнение $\sin x - \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получили бы $\pm 1 - 0 \neq -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x} = \sqrt{2}\cos x - 2\cos^2 x$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Используем формулу $\sin(2x) = \frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x}$:

$\sin(2x) = \sqrt{2}\cos x - 2\cos^2 x$

Применяем $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x = \sqrt{2}\cos x - 2\cos^2 x$

Переносим все в левую часть и факторизуем:

$2\sin x \cos x + 2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x = 0$

$\cos x (2\sin x + 2\cos x - \sqrt{2}) = 0$

Получаем два случая:

1) $\cos x = 0$. Не удовлетворяет ОДЗ.

2) $2\sin x + 2\cos x - \sqrt{2} = 0$.

Решаем второе уравнение:

$2(\sin x + \cos x) = \sqrt{2}$

$\sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$, чтобы применить формулу синуса суммы:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

$x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ по аналогии с пунктом в).

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.